Mattenøtter

[Myst]

Leste gjennom Teknisk ukeblad i stad og ukens mattenøtt virket overkommelig i førsten, men må si jeg sitter fast nå. Klarer DU å løse den? 

 

Mattenøtten er slik:

 

Vi har en kvadratisk firkant der sidene er 10 cm. Så tegner vi inn linjer fra alle hjørner til midten av sidene. Det gir oss en 8-kant midt inni firkanten.

Spørsmålet er: hva er arealet av denne 8-kanten?

 

Illustrasjon:

 

Hint: siden en 8-kant ikke har noe direkte formel, må vi kombinere flere formler.

 

Jeg ga opp og jukset, men ble ikke særlig klokere da heller. Sjekk i spoiler hvis du også ikke gidder å tenke for mye

 

Åttekant
Spørsmål:
Mats, 16

Hvordan finner jeg arealet av en åttekant?
Svar:
Hei, Mats!

Jeg antar du mener en åttekant der alle vinklene og sidene er like store? Det er mulig å finne for andre også, men det er vesentlig mer arbeid.

La c være sidelengden i kvadratet, b siden i den lille trekanten, og a sidelengden i åttekanten. Anta at vi vet hva c er. (Det er ganske lett å måle i virkeligheten. Eventuelt kan man måle a, og da må formelen gjøres litt om.)

Åttekanten har arealet til firkanten, minus de fire små trekantene. Firkanten har areal c^2.

De små trekantene har areal b2/2. Det vi må prøve på nå, er å skrive alt dette ved hjelp av c.

Først vet vi at

c=b+a+b=a+2b

Samtidig kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne en sammenheng mellom a og b. Hypotenusen i trekanten er a, slik at

a^2=2b^2

Setter vi sammen disse opplysningene, får vi at b=c/√2+2.

Til slutt kan vi kombinere alt vi vet for å finne en formel for arealet A.

A = c^2−4b^/2 = c^2−(2c^2/(√2+2)^2 = (1−(1/1+2√2+2))c^2

 

 

 

Den som vinner får æren å legge ut ny mattenøtt, for å holde liv i tråden, om de gidder.

 

Lykke til!

Endret 3. september 2015 av Myst

[Myst]

Hatt litt tid å tenke her, så tror jeg har funnet en fornuftig tankemåte. La oss se på illustrasjonen først:

 

 

Cluet er: trekanter, arealer og pytagoras.

 

Jeg tror man kommer god vei ved å finne lengdene av de fargede stripene, og beregne seg til en enkel trekant-areal i 8-kanten og gange det opp med 16.

 

Hvis vi deler det opp i punkter:

 

1) Lengden av den røde stripen er 10 / 4 = 2,5. Høyden i den trekanten ser vi av figuren at er 5. Det gir oss muligheten til å finne lengden av gul stripe.

2) Finner at gul stripe har lengden 5,6. Siden vi har symmetrisk figur, kan vi dele den på 3 for å finne lengden på en av sidekantene til 8-kanten.

3)Sidekant er 1,87. Halvparten av det gir oss lengden på ene beinet i rosa trekanten, som er 0,93. Hypotenusen i nevnte trekant er 2,5. Pytagoras gir da 2,32 som lengden på siste beinet.

4) Arealet av den lille trekanten blir da 1,08, ganget opp med 16 trekanter, gir oss svaret 17,26.

 

Ble veldig detaljberegning, men tror det ikke er helt på viddene.

 

De som er bedre i matte og geometri, finner nok enklere metoder.

[Emancipate]

Det er noe rart med den figuren. Den er ikke en regulær åttekant.

[the_last_nick_left]

Siden vi har symmetrisk figur, kan vi dele den på 3 for å finne lengden på en av sidekantene til 8-kanten.

Nei, det kan vi ikke..

 

Anbefaler å bruke formlikhet, forresten.

[HansiBanzi]

Jeg valgte å angripe det ved å finne arealet av alt utenom åttekanten først, for så å trekke dette fra 100 for å finne arealet. Ved å dele det inn i trekanter hvor jeg kjenner minst én side og én vinkel kom jeg et stykke på veien, men giddet ikke mer da jeg skulle finne en lengde på to forskjellige måter og endte opp med to forskjellige svar. Bildet i linken viser inndelingen jeg valgte.

http://bildr.no/view/OUducGZ5

[Myst]

Omsider har det kommet fasit på oppgaven. Kan ikke si jeg skjønte den helt og har ikke brydd meg å lage illustrasjon av det, enda. Skal sammenligne fasiten med infoen vi har i førstepost og se om jeg skjønner det da.

 

Kommentar om ikke regulær åttekant er riktig. Den er en likesidet åttekant.

 

 

 

 

 

Edit: satt i spoiler etter forespørsel

Endret 17. september 2015 av Myst

[Emancipate]

Ok, jeg regnet ut, og skjønte at det ble feil, så jeg så på fasiten. Mitt svar ble rundt 17.67, noe som er arealet av en regulær åttekant. Den som er vist er litt mindre, så det måtte være feil. Jeg skjønner ikke hva jeg gjorde feil, da.

 

 

[Løgn]

Ny mattenøtt!

 

Denne er betydelig enklere.

 

Du går en tur i en tett granskog over flere dager. Etterhvert som du beveger deg mellom trærne begynner du å tenke på grantrær og barnåler. Så tenker du opp spørsmålet: Finnes det minst ett grantre som har nøyaktig like mange barnåler som et annet grantre i skogen.

 

Under hvilke betingelser vil svaret på spørsmålet være ja eller nei, eller eventuelt forklar hvorfor spørsmålet ikke kan besvares?

Endret 3. november 2015 av Løgn