Summen av alle naturlige tall = -1/12

[moby_duck]

Jeg så Numberphile sin video som forklarte at summen av alle naturlige tall (alle positive heltall) = -1/12. Har jobbet med beviset i dag, og jeg får det ikke helt til å stemme.

 

Først setter han opp påstanden han skal bevise:

1+2+3+4+5+...=-1/12

 

Så setter han opp en geometrisk rekke med x som kvotient, eller altså en funksjon x^n hvor n går fra 0 til ∞.

f(x) = 1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x) , |x|<1

 

Så langt er jeg med. Men det jeg reagerer på er at summen av en hvilken som helst geometrisk rekke er ikke gitt ved 1/(1-x), men heller ved (x^n-1)/(x-1). Når n=∞ og |x|<1 konvergerer x^n mot 0, og vi ender opp med -1(x-1), som blir lik 1/(1-x) når vi bytter fortegn. 1/(1-x) er altså en forenklet måte å skrive (x^n-1)/(x-1). Men denne gjelder kun når |x|<1 og n=∞

 

Fordi det neste han gjør er å derivere funksjonen.

f'(x) = 1+2x+3x^2+4x^3+...=1/(1-x)^2

Men når han deretter setter inn x=-1, bryter han ikke da regelen om at |x|<1?

 

Når han setter inn x=-1 får han resultatet:

1-2+3-4+5-6+...= 1/4

Det er her jeg mener det er gjort en feil, fordi absoluttverdien til x skal ikke være lik eller større enn 1. Er den det må man bruke den fullstendige funksjonen, altså (x^n-1)/(x-1). Da får vi (1-1)/(x-1) = 0/(-2) = 0

1-2+3-4+5-6+... = 0

 

 

Er det jeg eller de som har gjort en feil?

[moby_duck]

Hmm... Ops. Jeg må jo selvfølgelig derivere (x^∞-1)/(x-1) også, og det blir x^∞/(x-1)^2. Setter vi inn x=-1 får vi 1/4.

 

Når jeg beviser det, så stemmer alt sammen. Men jeg skjønner allikevel ikke hvordan summen av kun positive heltall blir en negativ brøk!

[Pettersenper]

Bare tull. Jeg nekter å tro det selv om det finnes et bevis for det.

[Battaman]

Det stemmer, men i den fysiske verden er det ikke mulig å legge sammen uendelig mange tall, det er en matematisk kuoristet som ikke gir mening i den fysiske verden. Mye av det samme som Zenons paradoks hvis vi antar at man bruker like lang tid på hver halve distanse.

[Frexxia]

Hvis man snakker om konvergens i vanlig forstand på den utvidede reelle tallinjen har en



Man kan dog snakke om andre former for konvergens for rekker, og noen av disse kan gjøre rekker som divergerer i vanlig forstand konvergente. Eksempler på slike metoder er Cesàro-summasjon og Abel-summasjon. For rekken vi snakker om her vil disse metodene fortsatt gi , så en må gå "kraftigere til verks". Metoden i videoen handler essensielt sett om å finne noe som konvergerer i ett sted i det komplekse planet, og observere at det "gir mening" å tolke svaret selv om den opprinnelige rekken ikke lenger konvergerer. En annen metode som gir samme "svar" for denne rekken er Ramanujan-summasjon.

Jeg vil bare understreke at det er ikke sant dersom man snakker om konvergens i vanlig forstand.

Endret 25. januar 2014 av Frexxia

[Kjøleskap]

Dette er selvfølgelig bare tull og det er altfor mange som går på dette.

[Salvesen.]

Dette er selvfølgelig bare tull og det er altfor mange som går på dette.

Å ja? Så stringteori er bare tull?

[Battaman]

Selvsagt, kvatefysikk og relativitetsteori også. Alt vi ikke forstår og som er rart er feil.

[Pettersenper]

Selvsagt, kvatefysikk og relativitetsteori også. Alt vi ikke forstår og som er rart er feil.

Det medfører riktighet det battamann. Alt jeg ikke forstår iallefall.

[Frexxia]

Dette er selvfølgelig bare tull og det er altfor mange som går på dette.

Det er ikke tull så lenge man er åpen om hva man mener med likhetstegnet.

[Aleks855]

Hvis man snakker om konvergens i vanlig forstand på den utvidede reelle tallinjen har en

 

 

Man kan dog snakke om andre former for konvergens for rekker, og noen av disse kan gjøre rekker som divergerer i vanlig forstand konvergente. Eksempler på slike metoder er Cesàro-summasjon og Abel-summasjon. For rekken vi snakker om her vil disse metodene fortsatt gi , så en må gå "kraftigere til verks". Metoden i videoen handler essensielt sett om å finne noe som konvergerer i ett sted i det komplekse planet, og observere at det "gir mening" å tolke svaret selv om den opprinnelige rekken ikke lenger konvergerer. En annen metode som gir samme "svar" for denne rekken er Ramanujan-summasjon.

 

Jeg vil bare understreke at det er ikke sant dersom man snakker om konvergens i vanlig forstand.

 

Du har i stor grad rett, men du misbruker likhetstegnet ganske hardt her. Det er feil å oppgi som en verdi når du summerer tall. Du kan naturligvis si , fordi uendelig er en grenseverdi, og ikke et tall.

 

Merk; jeg bare spikker flis. Det tar ikke noe vekk fra det andre du skriver.

 

Alle som bastant er uenige i summen viser bare en faglig umodenhet. Ikke FORDI de er uenige, men fordi de bare sier "dette er tull" og setter seg på rumpa. Vil du motsi noe, legg frem et bevis. Denne summen dukker opp som korrekt i strengteorien, og er med på å gi grunnlag for dens 26 (?) dimensjoner. Det er ikke bare matematikken som tilsier det, men også observasjoner. Da skal du være litt mer oppegående enn "nehehei!" for å være med i debatten.

[Quent]

Det blir vel feil å si at summen av alle naturlige tall er -1/12. Kanskje gir det mer mening å si at det under mange omstendigheter er gunstig å behandle det som om det var det, eller at det finnes matematiske rammeverk hvor slikt gir mening? Phil Plait skrev en bloggpost om -1/12, og ga senere en follow-up på det etter at det skapte mye reaksjoner.

http://www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2014/01/18/follow_up_the_infinite_series_and_the_mind_blowing_result.html

 

Fra nedover i artikkelen:

 

 

It's not quite right to describe what the video does as “proving” that 1 + 2 + 3 + 4 + .... = -1/12. When we ask “what is the value of the infinite sum,” we've made a mistake before we even answer! Infinite sums don't have values until we assign them a value, and there are different protocols for doing that. We should be asking not what IS the value, but what should we define the value to be? There are different protocols, each with their own strengths and weaknesses. The protocol you learn in calculus class, involving limits, would decline to assign any value at all to the sum in the video. A different protocol assigns it the value -1/12. Neither answer is more correct than the other.

 

Edit: Ser nå at andre har sagt det jeg prøvde å få frem her bedre enn jeg har.

Endret 26. januar 2014 av Quent

[Frexxia]

 

Hvis man snakker om konvergens i vanlig forstand på den utvidede reelle tallinjen har en

 

 

Man kan dog snakke om andre former for konvergens for rekker, og noen av disse kan gjøre rekker som divergerer i vanlig forstand konvergente. Eksempler på slike metoder er Cesàro-summasjon og Abel-summasjon. For rekken vi snakker om her vil disse metodene fortsatt gi , så en må gå "kraftigere til verks". Metoden i videoen handler essensielt sett om å finne noe som konvergerer i ett sted i det komplekse planet, og observere at det "gir mening" å tolke svaret selv om den opprinnelige rekken ikke lenger konvergerer. En annen metode som gir samme "svar" for denne rekken er Ramanujan-summasjon.

 

Jeg vil bare understreke at det er ikke sant dersom man snakker om konvergens i vanlig forstand.

 

Du har i stor grad rett, men du misbruker likhetstegnet ganske hardt her. Det er feil å oppgi som en verdi når du summerer tall. Du kan naturligvis si , fordi uendelig er en grenseverdi, og ikke et tall.

 

Merk; jeg bare spikker flis. Det tar ikke noe vekk fra det andre du skriver.

 

Alle som bastant er uenige i summen viser bare en faglig umodenhet. Ikke FORDI de er uenige, men fordi de bare sier "dette er tull" og setter seg på rumpa. Vil du motsi noe, legg frem et bevis. Denne summen dukker opp som korrekt i strengteorien, og er med på å gi grunnlag for dens 26 (?) dimensjoner. Det er ikke bare matematikken som tilsier det, men også observasjoner. Da skal du være litt mer oppegående enn "nehehei!" for å være med i debatten.

 

Merk at jeg spesifiserte den utvidede reelle tallinjen, hvor en har lagt til og .

 

edit: Det skal sies at det fint går an å bare bruke de reelle tallene, men da er ikke likhetstegnet "det vanlige likhetstegnet".. Men det får være grenser for hvor pedantisk man skal være på et internettforum.

Endret 26. januar 2014 av Frexxia