Klassisk sannsynlighetsregning

[sstefan27]

Hei,

 

Nok en tråd om sannsynlighetsregning relatert til terninger. Jeg mener jeg har relativt grei kontroll på dette emnet, men læreren min er såpass sta at han sier alle som mener noe annet enn han, tar feil. Dette har irritert meg såpass, at jeg nå planlegger å fremlegge noen bevis slik at både læreren og resten av klassen kommer på rett kjøl.

 

Det hele startet med at læreren i dag påsto at hvis du kastet to terninger samtidig, var sjansen for å få minst en sekser 13,88%. Dette sto han helt fast ved, men jeg skjønte med en gang at noe var feil her. Jeg tenkte med en gang at man må mye nærmere opp rundt 30-tallet i prosent for at det skal bli riktig. Jeg tenkte han kanskje bare mente at 13,88% var for en terning, men da er jo sjansen 1/6, eller 16,67%.

 

Viktig å huske på en vesentlig forskjell:

- a) At man kaster to terninger og skal ha MINST en sekser

- b) At man kaster to terninger og skal ha KUN en sekser.

 

Læreren er av utenlandsk opprinnelse, så jeg klarer ikke helt å huske hvordan han ordla seg. Jeg begynte uansett å krangle med de andre i klassen, siden de trodde på det læreren sa; At det kun er 13,88% sjanse for å få minst en sekser ved kast av to terninger.

 

I a) kan vi bruke det vanlige systemet der vi finner at det ved to terninger er 36 mulige utfall. (1/6*1/6) = 1/36. Deretter telle alle kombinasjoner som inneholder en eller to seksere, dette er 11 kombinasjoner. (16,26,36,46,56,66,65,64,63,62,61)

 

Dermed ser regnestykket etter min mening slik ut:

 

11/36*100 = 30,55% for at minst en terning viser 6.

 

I b) må vi kun utelukke den ene kombinasjonen (66) da det er to seksere. Vi får da 10 kombinasjoner.

 

Dette regnestykket ser slik ut:

 

10/36*100 = 27,77%

 

Det interessante i regnestykke b) er at man bare kan gange lærerens svar med 2, så får man 27,77%. (13,88*2)

 

 

Så det store spørsmålet er:

 

Læreren brukte 1/6*5/6 = 5/36*100 = 13,88%.

 

Glemte han bare å gange med 2 da, eller er han ikke smartere enn at han tror 13,88% er riktig? Og mente læreren at man KUN skulle ha en sekser? Må vel være ja på det siste.....

 

-------------------------------------------------------------------------------------

 

Og til slutt et spørsmål fra meg selv, som jeg undres over:

 

Hvorfor kan man ikke bruke følgende metode for å finne svaret på hva sjansen er for minst en sekser ved kast av to terninger:

 

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

 

Jeg tenkte med en gang at med to terninger er det statistisk sett korrekt å tro at man ved hvert kast vil få representert to ulike verdier, og at man da har 1/3 (33,33%) sjanse for minst en sekser. Er det kombinasjonene 11,22,33,44,55 og kanskje 66 som ødelegger for denne måten å tenke det hele på?

 

 

Håper min måte å skrive på var relativt forståelig, ikke så ofte jeg diskuterer matte på nett.

[Imlekk]

Dine utregninger er korrekte. Læreren tar feil.

 

Grunnen til at 1/6 + 1/6 ikke funker er følgende:

1/6 representerer de seks mulighetene for sekser på en terning, mens 1/6 representerer muligheten for sekser på den andre terningen.

 

Merk at svaret du er ute etter er 30,55 = 1/6 + 1/6 - 1/36.

 

Det man må trekke fra er overlappet, når man får to seksere samtidig. Makes sense?

[sstefan27]

Det hjalp litt.

[sstefan27]

Du mener:

 

33,33 - 1/36*100 =

 

33,33 - 2,77 = 30,55.

 

Isåfall skjønte jeg det!

Endret 5. november 2013 av sstefan27

[Imlekk]

Du mener:

 

33,33 - 1/36*100 =

 

33,33 - 2,77 = 30,55.

 

Isåfall skjønte jeg det!

Ja. Eneste forskjellen er at jeg bruker desimaltall, mens du foretrekker å regne i prosent. Husk at 1 = 100 %. Jeg foretrekker å holde meg til desimaltall, så jeg slipper å skrive ned noen omregninger. Men i praksis er det ingen forskjell.

 

Forresten, en tredje måte (og til tider mer pålitelig) for å regne ut dette er å ta...

 

1 - P(ikke sekser) = P(sekser)

 

Formuleringen "P(et-eller-annet)" betyr "sannsynligheten for at et-eller-annet skjer".

 

Hva er sannsynligheten for å ikke få en sekser? Jo, det er jo ganske greit. Det er 5/6 på en terning og 5/6 på andre, som gir oss 5/6*5/6 = 25/36 = 0,694444444...

 

1 - 0,6944444... = 0,30555555... = 30,55555... %

 

Håper det også ga litt mening.

[sstefan27]

Den er grei, da skjønner jeg hele greia. Printer ut og tar med til læreren, så skal vi få se hva han har å si i sitt forsvar!

Endret 5. november 2013 av sstefan27

[sstefan27]

Kan spørre i samme slengen:

 

Hva er sjansen for å få Maxi Yatzy på ett kast der man kaster samtidig, og har det noe å si om man kaster en og en terning? Enkelte på webbet har påstått det!

 

A) Kaste alle på likt:

1/6*1/6*1/6*1/6*1/6*1/6 = 1/46 656

 

B) Kaste en og en:

6/6*1/6*1/6*1/6*1/6*1/6 = 6/46 656 = 1/7776

(Den første terningen kan lande på hvilken som helst verdi og alle de 5 neste må følge denne)

 

(Det finnes 6 mulige yatzyer; 111111,222222,333333,444444,555555,666666) og derfor gir B mest mening, men trenger man å argumentere med at man må kaste de en og en? Det er jo fortsatt 6 mulige yatzyer i A også,og hvordan kan man vise det i et enkelt regnestykke i A?).

Endret 5. november 2013 av sstefan27

[Imlekk]

Den er grei, da skjønner jeg hele greia. Printer ut og tar med til læreren, så skal vi få se hva han har å si i sitt forsvar!

Noe du kunne vurdere er jo å spørre læreren om han kan skrive ut alle 36 alternativene på tavla/et ark, og så sjekke sannsynligheten. Eventuelt skrive det ned på et ark før timen.

 

Ut av nysgjerrighet, hvilket klassetrinn går du på?

 

Kan spørre i samme slengen:

 

Hva er sjansen for å få Maxi Yatzy på ett kast der man kaster samtidig, og har det noe å si om man kaster en og en terning? Enkelte på webbet har påstått det!

 

A) Kaste alle på likt:

1/6*1/6*1/6*1/6*1/6*1/6 = 1/46 656

 

B) Kaste en og en:

6/6*1/6*1/6*1/6*1/6*1/6 = 6/46 656 = 1/7776

(Den første terningen kan lande på hvilken som helst verdi og alle de 5 neste må følge denne)

 

(Det finnes 6 mulige yatzyer; 111111,222222,333333,444444,555555,666666) og derfor gir B mest mening, men trenger man å argumentere med at man må kaste de en og en? Det er jo fortsatt 6 mulige yatzyer i A også,og hvordan kan man vise det i et enkelt regnestykke i A?).

Nå er du inne på dette med avhengige og uavhengige sannsynligheter. En terning er uavhengig av en annen terning, det vil si at rekkefølgen ikke har noe å si. De påvirker ikke hverandre. Du kan kaste dem samtidig, eller hver for seg - det blir absolutt likegyldig.

 

Jeg ville regnet det ut på følgende måte:

1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = (1^6)/(6^6) = 1/(6^6) = 1/46656.

Det er sannsynligheten for å få seks femmere, for eksempel. Men så er det, som du påpeker, seks muligheter. Du må da multiplisere med seks, som gir:

6*[1/(6^6)] = 6/(6^6) = 1/(6^5) = 1/7776.

 

Nå hoppet jeg litt over en del potensregning, så si ifra om det var uklart.

 

Hmm, merker jeg burde sjekke hvordan man bruker LaTeX her på forumet, for dette ser ikke vakkert ut.

[Imlekk]

Jeg ville regnet det ut på følgende måte:

1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = (1^6)/(6^6) = 1/(6^6) = 1/46656.

Det er sannsynligheten for å få seks femmere, for eksempel. Men så er det, som du påpeker, seks muligheter. Du må da multiplisere med seks, som gir:

6*[1/(6^6)] = 6/(6^6) = 1/(6^5) = 1/7776.

Med LaTeX-kode:

 

Jeg ville regnet det ut på følgende måte:

Det er sannsynligheten for å få seks femmere, for eksempel. Men så er det, som du påpeker, seks muligheter. Du må da multiplisere med seks, som gir:

[sstefan27]

Ny klassisk drittoppgave vi har fått:

 

Du stokker en kortstokk godt og ser på de to øverste kortene. Hva er sannsynligheten for at du får nøyaktig et hjerterkort?

 

Jeg tenkte at man kunne gjøre som nevnt tidligere i tråden, men får det ikke til å stemme overens med fasiten i boka som sier at svaret er 38,2% sjans.

 

Jeg tenkte at man har 16 utfall:

 

HH

HS

HK

HR

 

SK

SR

SH

SS

 

RK

RR

RH

RS

 

KK

KS

KR

KH

 

Av disse 16 har 6 av utfallene det oppgaven spør etter, og da blir det vel 37,5%? (6/16*100)

[the_last_nick_left]

Sannsynligheten for å trekke hjerter er ikke konstant, så du kan ikke bare telle antall utfall på den måten.

 

Sannsynligheten for nøyaktig én hjerter er lik sannsynligheten for at første kort er hjerter* sannsynligheten for at andre kort ikke er hjerter gitt at første kort er hjerter + sannsynligheten for at første kort ikke er hjerter* sannsynligheten for at andre kort er hjerter gitt at første kort ikke er hjerter.

[nicho_meg]

Du burde jo benytte anledningen til å kødde litt med klassen:

 

Enhver terning har en sannsynlighet på 1/6 på å få en sekser.

Dette betyr at hvert 6. kast er en sekser.

Tilsvarende for 5,4,3,2 og 1.

Når jeg kaster en terning 5 ganger og for enkelhetens skyld så tenker vi jeg får 1,2,3,4 og 5.

Da er terningen ødelagt fordi neste kast må bli en sekser. Tilsvarende må neste bli 1 osv.

Følgelig har alle terninger bare 5 kast før man er blitt synsk.