[Løst] Tau, kraft og moment på tvers

[Sindre Rudshaug]

På hytta feller jeg trær. Jeg sikrer dem noen ganger mot å falle feil vei. Jeg binder et 40 meter langt tau 5 meter oppe på stammen, strammer det så hardt jeg klarer og fester det i et annet tre. Deretter fester jeg et nytt tau midt på det andre tauet og strammer dette i 90 graders retning så hardt jeg klarer. På denne måten blir det første tauet VELDIG mye strammere enn jeg kan klare å stramme det direkte. Jeg benytter meg av moment. Hvordan kan man regne med moment på denne måten? Hvor mye mer effektivt - altså med hvor mye mindre kraft trenger jeg å trekke i 90 grader for å utgjøre samme effekt som når jeg bare trekker direkte vekk fra utgangspunktet?

 

Jeg synes det er vanskelig å forstå newton horisontalt, men la oss si at jeg klarer å stramme tau med 500 newton, fordi:

"Kraften som trekker et legeme med masse 1 kg nedover vil være på ca. 9,81 Newton fordi tyngdens akselerasjon ved fritt fall på jorden er ca. 9,81 m/s2."

 

Jeg tror jeg uten taljeutveksling(bare med en enkelt utveksling), burde klare å løfte 51 kg/500 newton fra bakken ved å dra ned i et taljetau som løfter 51 kg rett opp. Videre:

 

Hvis jeg altså først strammer tau # 1 med 500 newton og surrer det fast, så drar dette tauet i treet jeg skal felle med en konstant kraft på 500 newton. (Bare for å ha noe å regne med). Når jeg så drar i tau # 2 med 500 newton og surrer også det fast - med hvor mye kraft drar nå det første tauet i treet jeg skal felle? Hvor mye økte jeg kraften og hvorfor?

 

Vi forutsetter at det ikke eksisterer elastisitet i tau, vi later for øyeblikket som om de er stålvaiere.

[Jonern]

Hvor stor kraft du får i tau #1 avhenger av hvilken vinkel du oppnår i krysset mellom tau #1 og #2 når tau #2 er strammet til 500 N.

[Sindre Rudshaug]

Vinkelen er tilnærmet 90 grader, fordi verken treet eller tauet(stålvaieren) gir særlig etter. Vi kan si at den blir 90,01.

 

Jeg kan ikke forstå at vinkelendringen fra utgangspunktet på 90 grader blir avgjørende, ettersom stålvaierfestene for vaier #1 teoretisk sett både kan ryke og ikke ha særlig mye belastning selv om vinkelen mellom #1 og #2 ligger like rundt 90 grader. Lite elastisitet i en stålvaier på feks 50 mm, men hvis en sterk maskin kontra meg står og drar i vaier #2, så vil vinkelen uansett endre seg lite, men vaieren vil til slutt ryke. En forskjell på kanskje 100 000 newton eller mer. Jeg vet ikke hva 5cm stål tåler i strekkretning.

 

Jeg skjønner at det er en eller annen form for utveksling her, men jeg forstår ikke hvordan jeg skal regne det ut.

[Jonern]

Orka ikke begynne tegne i paint eller lignende...

 

Men kortversjonen, med bare 0,01 grad oppnår du 146 tonn (!!!) kraft i tauet på treet. Treet hadde knekt for lenge siden

 

Kraften i tau #1 blir 500 N + (250 N / Sin(vinkel)). Hvor vinkel blir avviket fra 90 grader. Dvs, i ditt tilfelle, 0,01 grader.

 

Uansett, se utregning i vedlagt bildefil.

[Sindre Rudshaug]

Tusen takk. Jeg skal forsøke å forstå det:)

[Sindre Rudshaug]

Kjapt spørsmål. Av utregningen kan det se ut som om jo mindre kraft trekker jeg med, jo større blir vinkelen. Når jeg trekker med 146 tonn beveger jeg tau# 2 bare såvidt mot meg, slik at vinkelen såvidt overstiger 90 grader, mens når jeg trekker med adskillig mindre kraft=538 kilo blir vinkelen 93 grader. Dette høres ikke riktig ut. Mer trekkraft i tauet fører til mindre vinkel? Det burde vært motsatt. Enten er det noe jeg ikke har forstått eller så er utregning feil. Når jeg står i enden av tau 2 og ser langs det mot tverrsiden av tau i, så øker vinkelen mellom 1 og 2(på begge sider av 2) dess hardere jeg trekker.

[Jonern]

Du har skjønt litt av hvordan det regnes ut, men du omrokkerer på ligningen på feil premisser.

 

Det som er utslagsgivende er hvor stor vinkelen blir, og det avhenger av hvor hardt du strammer tau #1 og hvor mye du drar med tau #2.

 

I tillegg så blir forenklingen du gjør ved å si at ståltau er "uendelig stivt" (at det ikke tøyes) veldig upresis. Det er fordi man vil bruke tøyningen i ståltauet til å beregne hvor mye det strekkes ut til siden og dermed vinkelen.

 

Håper det ga noe mening.

[Sindre Rudshaug]

Du har skjønt litt av hvordan det regnes ut, men du omrokkerer på ligningen på feil premisser.

 

Det som er utslagsgivende er hvor stor vinkelen blir, og det avhenger av hvor hardt du strammer tau #1 og hvor mye du drar med tau #2.

 

I tillegg så blir forenklingen du gjør ved å si at ståltau er "uendelig stivt" (at det ikke tøyes) veldig upresis. Det er fordi man vil bruke tøyningen i ståltauet til å beregne hvor mye det strekkes ut til siden og dermed vinkelen.

 

Håper det ga noe mening.

 

"Du har skjønt litt av hvordan det regnes ut, men du omrokkerer på ligningen på feil premisser.

Det som er utslagsgivende er hvor stor vinkelen blir, og det avhenger av hvor hardt du strammer tau #1 og hvor mye du drar med tau #2."

 

Det høres logisk ut, men dess hardere du drar i tau #2, dess større må vinkelen bli og dess sterkere drar tau#1 i trærne. Fra regnestykket ditt så det motsatt ut. La oss si at det var enorm elastisitet i tau #1 og ikke i tau #2. Isåfall vill man teoretisk kunne dra tau #1 så langt at vinkelen mellom 1 og 2 nærmer seg 180 grader. Vinkelen mellom 1 og 2 øker = tau 1 drar sterkere på trærne.

 

"I tillegg så blir forenklingen du gjør ved å si at ståltau er "uendelig stivt" (at det ikke tøyes) veldig upresis. Det er fordi man vil bruke tøyningen i ståltauet til å beregne hvor mye det strekkes ut til siden og dermed vinkelen."

 

Godt poeng. Men man vil jo få mye mer vinkel med et tau, fordi det er mye mer elastisk, så elastisitet må isåfall inn i likningen også. Da blir det veldig komplisert. Det er derfor jeg liker regnestykker med stålvaiere som strekker seg svært lite. men elastisitet MÅ jo være en faktor, ikke bare vinkel og kraft på tvers av tau #1.

 

"Håper det ga noe mening."

 

Håper vi kan forsøke litt til, til vi finner et logisk svar.

[Inge Rognmo]

Det høres logisk ut, men dess hardere du drar i tau #2, dess større må vinkelen bli og dess sterkere drar tau#1 i trærne. Fra regnestykket ditt så det motsatt ut. La oss si at det var enorm elastisitet i tau #1 og ikke i tau #2. Isåfall vill man teoretisk kunne dra tau #1 så langt at vinkelen mellom 1 og 2 nærmer seg 180 grader. Vinkelen mellom 1 og 2 øker = tau 1 drar sterkere på trærne.

Det alternative regnestykket hans (inne i boksen) viser jo at kraften blir mye mindre med 3* avvik fra rett linje (dvs. 176* inkludert vinkel) enn med 0,01* (179,98).

 

Denne tabellen (midt på/nederst, hentet fra en US Army håndbok i løfteredskap) viser det kanskje på en mer pedagogisk måte:

vinkelen på 170* mellom partene tilsvarer 5* avvik (for hver part) fra rett linje når man ser det på samme måte som i regnestykket.

 

Det som ikke er angitt i tabellen/manualen, er det du er interessert i, altså den horisontale kraften de to skråstilte taupartene utøver innover mellom ankerpunktene sine, men denne øker naturligvis sammen med belastningen på taupartene, og den inkluderte vinkelen.

 

Det er altså egentlig vinkelen du får mellom de to partene av tau #1 som er relevant, ikke så mye vinkelen mellom 1 og 2. Om du måler denne på samme side som tau #2, (dvs >180*) eller på motsatt side (<180*) , er forsåvidt valgfritt, men i neste avsnitt forholder jeg meg til målemetoden/illustrasjonene i tabellen.

 

Jo hardere du drar i tau nr. 2, jo mindre blir altså vinkelen. (Når tau #1 er helt rett er denne 180*. Legger du tau #1 dobbelt, sånn at vinkelen blir 0*, så blir belastningen på hver part halvparten av det du drar med midt på.)

 

Forutsatt at tau #1 ikke strekker seg overhodet, og du trekker det sideveis (eller løfter det opp/presser det ned) midt på, men vinkelen overhodet ikke avviker fra 180* vil du, om jeg ikke resonnerer helt feil, utøve en uendelig kraft på ankerpunktene. Så snart vinkelen minker, så blir kraften du utøver mindre, og du vil (forutsatt at forankringene og selve tauet holder) finne balansen mellom hvor mye kraft du påfører tauet og hvor mye det tøyer seg, eller med andre ord hvor langt ut fra en rett linje du klarer å strekke det.

Endret 25. juli 2013 av Inge Rognmo

[Sindre Rudshaug]

Takk til begge to. Jeg får få hjelp av en som er smartere enn meg til å oversette. Vi sier den er løst:)

[toreae]

Du må gjerne dele løsningen med oss andre. Når det står [Løst], forventer man gjerne at svaret finnes i tråden.

[Inge Rognmo]

Løsningen på hvordan regne det ut står i bildet i post #4, og bildet jeg la ut i post #9 hjelper (sammen med teksten) kanskje på forståelsen...

[CFM]

Grunnen til at resultantkraften blir større ved mindre vinkel ser man hvis man dekomponerer kreftene og tegner de opp som vektorer. For å oprettholde kraften i y-retningen (for at systemet skal være i statisk likevekt) må kraften i x-retningen bli større når man får mindre vinkel:

 

 

Jeg regnet litt selv. Med forbehold om feil og en del antakelser så tok jeg med forlengelse i stålwiren og jeg regnet også ut hvor mye trærne vil bøye seg i punktet 5m over bakken (der tauet er festet). Beklager dårlig håndskrift, men jeg orker ikke lage noe ordentlig. Legger bare ut kladden:

 

Merk at FA og FB er like store på grunn av at vi trekker i wiren midt i mellom trærne.

 

Ved å summe kreftene i y-retningen og sette de lik null så finner man resultantkraften ved å gjøre litt om på formelen. Her er F=4,77kN. Jeg antar at vinkelen er 3*.

 

Jeg antar at man bruker en stålwire med diameter = 5mm. Fra tabell ser man at for stål er E-modulen tilnærmet lik 210kN/mm^2. Dette gjelder for et fast stykke stål, jeg fant ikke tall for wire så det vil nok bli noe forskjell.

Forlengelsen vil bli 57,8mm ved en kraft på F=4,77kN.

 

Dette er nok ikke helt reelt ettersom når man trekker i wiren, vil den forlenges og vinkelen vil endres. Ved maks forlengelse vil vinkelen endres til 5,72*.

 

 

Ved å summe kreftene på nytt finner jeg ut at kraften F nå er redusert til omlag 2,5kN. Da vil forlengelsen i wiren bli 30mm.

 

Tar jeg et gjennomsnitt av forlengelsen (ettersom den vil havne et sted i mellom her et sted) så finner jeg ut at den blir 43,9mm. Da blir kraften F=2,65kN.

 

Om dette er riktig måte å gjøre dette på vet jeg ikke, men det blir nok ikke så veldig langt i fra tror jeg.

 

 

 

Så, hvor mye vil trærne bøye seg dersom F=2,65kN?

 

Først finner jeg F-kraften i x-retningen, som blir 2,64kN.

Ved å bruke E=10kN/mm^2 for treverk og å regne ut annet arealmoment for en sirkulær trestamme med diameter = 300mm, finner man ut at treet vil bøye seg 27,64mm. (Noe mindre vil det nok bli ettersom det bøyer seg innover og litt nedover, og dermed vil vinkelen igjen endres).

 

 

 

Edit* Jeg kan også legge til at dreiemomentet ved roten av treet blir 2,64kN x 5m = 13,2kNm.

Endret 28. juli 2013 av CFM