Paradokser

[RubenBM]

Alltid gøy med noen harde nøtter å knekke så jeg starter herved en generell tråd for utveksling av paradokser (eksempelvis matematiske og filosofiske) for å ta den logiske evnen til nye høyder.

 

Bare for å klargjøre/eksemplifisere forklarer jeg to paradokser henholdsvis Russells paradoks og Buridans esel.

 

Russells paradoks fungerte som en kritikk av den naive mengedelæren og viser at den vanlige måten vi tenker på begrepet mengde har betydelige logiske skrupler:

 

- Det finnes mengder som nødvendigvis inneholder seg selv i mengden. (For eksempel hvis jeg sier at jeg vil lage en mengde av alle mangder som innehar elementer; Da vil denne nye mengden jeg oppretter nødvendigvis bli et element i sin egen mengde ettersom den oppfyller det ene premisset som kvalifiserer til medlemskap, nemlig å innha elementer.)

 

- På den annen side finnes det mengder som ikke kan inneholde seg selv som element. (For eksempel hvis jeg lager en mengde av alle CDene i et bestemt rom. Da kvalifiserer mengden jeg lager på ingen måte til medlemskap i sin egen mengde siden den ikke oppfyller det nødvendige premisset for medlemskap.)

 

- Hvis jeg da sier at jeg vil lage en mengde av ALLE mengder som ikke inneholder seg selv, blir da den nye mengden jeg oppretter medlem av sin egen mengde? Både ja og nei blir like feil. Hvis ja så bryter den med det ene nødvendige premisset for medlemskap og ergo kan den ikke være medlem i seg selv; Hvis nei så oppfyller den det ene premisset som automatisk fører til medlemskap.

 

Paradokset blir: M er et element i M hvis og bare hvis M ikke er et element i M.

 

(Tok meg litt tid å forstå denne ordentlig og hva den innebærer, men var ganske opplysende da jeg skjønte det.)

 

Buridans esel er mye enklere. Det er rett og slett bare et esel som man tilegner egenskapen å tenke 100% rasjonelt. Hvis den da står helt nøyaktig posisjonert mellom to nøyaktig like store hauger med samme høy, hviken velger den da å spise?

 

Logisk sett vil eselet dø for det har ingen grunn til å spise hverken heller ettersom det ikke er noen logisk grunn til å velge den ene fremfor den andre.

 

Håper det kommer mange seriøse og interessante bidrag på tråden! Det overordnede tema er som skjønt PARADOKSER

Endret 19. mai 2013 av RubenBM

[Husam]

Slike paradokser er morsom og nyttig hjernetrim om ikke annet. Husker ikke hva dette "paradokset" heter, men jeg liker det:

 

Tenk deg at en hare og en skilpadde løper om kapp. Haren har en konstant fart på 10 meter i sekundet, og skilpadden en konstant fart på 1 meter i sekundet. Skilpadden har et forsprang på 10 meter.

 

Det vil si at etter starten har gått og haren har løpt 10 meter til der skilpadden startet vil skilpadden ligge 1 meter foran. Når haren deretter har kommet seg 1 meter videre vil skilpadden ligge 0,1 meter foran. Når haren har løpt 0,1 meter videre vil skilpadden ligge 0,01 meter foran. Når haren har løpt 0,01 meter videre vil skilpadden ligge 0,001 meter foran, osv osv osv. Fortsetter man å måle slik vil haren aldri nå igjen skilpadden, fordi skilpadden alltid har kommet seg littegrann lenger hver gang haren kommer til det punket skilpadden var ved siste måling.

 

Likevel vet man jo at haren kommer til å nå igjen skilpadden en eller annen gang, nærmere bestemt etter 11,111111111....(osv) meter.

Endret 19. mai 2013 av Husam

[kilogramm]

Hvis eselet tenker 100 % rasjonelt, ville det umiddelbart innsett at i valget mellom to likeverdige alternative matkilder, så triller man en mental terning, og tar et tilfeldig valg, fordi ingen optimalisering er mulig, og det er kjipt å sulte i hjel.....

[kilogramm]

Slike paradokser er morsom og nyttig hjernetrim om ikke annet. Husker ikke hva dette "paradokset" heter, men jeg liker det:

 

Tenk deg at en hare og en skilpadde løper om kapp. Haren har en konstant fart på 10 meter i sekundet, og skilpadden en konstant fart på 1 meter i sekundet. Skilpadden har et forsprang på 10 meter.

 

Det vil si at etter starten har gått og haren har løpt 10 meter til der skilpadden startet vil skilpadden ligge 1 meter foran. Når haren deretter har kommet seg 1 meter videre vil skilpadden ligge 0,1 meter foran. Når haren har løpt 0,1 meter videre vil skilpadden ligge 0,01 meter foran. Når haren har løpt 0,01 meter videre vil skilpadden ligge 0,001 meter foran, osv osv osv. Fortsetter man å måle slik vil haren aldri nå igjen skilpadden, fordi skilpadden alltid har kommet seg littegrann lenger hver gang haren kommer til det punket skilpadden var ved siste måling.

 

Likevel vet man jo at haren kommer til å nå igjen skilpadden en eller annen gang, nærmere bestemt etter 11,111111111....(osv) meter.

 

Siden farten er konstant, og målingene foretas etter kortere og kortere tilbakelagte distanser, er det eneste som egentlig skjer her, at vi måler hyppigere og hyppigere opp mot punktet hvor passeringen finner sted. Det er akkurat som pilen som aldri kommer frem.

 

Hvis jeg skyter en pil mot et mål, så tar det en viss mengde tid før den har nådd halvveis. Deretter tar det halvparten så langt tid før den har tilbakelagt halvparten av den gjenværende avstanden. Slik kan du "bryte opp" den totale avstanden i en uendelig lang serie av halveringer. - Det betyr ikke at pilen aldri kommer frem, bare at vi teoretisk kan måle tiden det tar med en uendelig høy grad av presisjon.

[Husam]

Siden farten er konstant, og målingene foretas etter kortere og kortere tilbakelagte distanser, er det eneste som egentlig skjer her, at vi måler hyppigere og hyppigere opp mot punktet hvor passeringen finner sted. Det er akkurat som pilen som aldri kommer frem.

 

Hvis jeg skyter en pil mot et mål, så tar det en viss mengde tid før den har nådd halvveis. Deretter tar det halvparten så langt tid før den har tilbakelagt halvparten av den gjenværende avstanden. Slik kan du "bryte opp" den totale avstanden i en uendelig lang serie av halveringer. - Det betyr ikke at pilen aldri kommer frem, bare at vi teoretisk kan måle tiden det tar med en uendelig høy grad av presisjon.

Det er riktig. Uendelighets-"paradokser" finnes i mange varianter, og er stort sett ganske enkle å løse bare man tenker litt over dem. Det kan bare være uvant å tenke seg at man kan foreta et uendelig antall målinger uten at haren tar igjen skilpadden og at det likevel kommer til å skje. Men til syvende og sist trenger man strengt talt bare å vite hva en asymptote er for at det skal bli lett å få hodet rundt dette.

[Henrik™]

Paradokset med haren og skillpadden er ganske innteressant. Alle skjønner at haren vil ta igjen skilpadden, men det er ikke så innlysende å påpeke feilen i "beviset" for at det ikke skjer dersom skilpadden starter foran haren.

 

Siden tråden er postet i OT-baren, tar jeg meg den frihet å legge til donald-paradoksene med nattevakten som skriver dagbok, de som har kaffepause på tefabrikken, og innbrudstyven som bryter seg ut.

[egen9]

Et fint paradoks.

 

"Jeg lyver alltid."

[RubenBM]

Paradokset om haren og skilpadden er et av Zenons paradokser. Han har noen interessante paradokser som har irritert matematikere i årtusener, men likevel syns jeg at noen av dem blir litt intetsigende. Som for eksempel dette med haren og skilpadden: Det han gjør er jo bare hovedsaklig å velge en innfallsvinkel på begivenheten som fra første stund ikke kan samstemme med begivenhetens virkelighet. Som nevnt over vet vi at i virkeligheten tar haren skilpadden raskt igjen, men hvis man velger å se bort fra km/t og kontinuerli fart og heller se på det stykkedelt i skilpaddens favør vil man ende opp med en uendelighet (paradoks) - denne sellektive metoden kan benyttes på mange områder for å komme til paradokser.

 

Her er et annet av Zenon:

 

- Et hvetekorn er ikke en haug, og man kan ikke gjøre en ikke-haug til en haug ved å legge til et enkelt korn.

 

- Hvis man starter med et korn og legger til enda et, får man med andre ord ingen haug. Og hvis man legger til enda et korn får man heller ingen haug - og så videre ad infinitum (i det uendelige). Dermed er det umulig å lage en haug ved å legge på korn.

[Eloquent]

Denne er jo en klassiker:

 

(1) Sentence 2 is false.

(2) Sentence 3 is true.

(3) Sentence 1 is false.

 

eller Hilberts hotell (copy/pasta fra en annen post jeg har lagd)

 

Se for deg at du drar på et hotell med uendelig mange rom. Du kommer inn og spør etter et rom, men du blir fortalt at alle rommene er opptatte. Du kommer da med løsningen at siden det er uendelig mange rom, kan alle bytte rom til ett romnummer høyere, for da får du plass i rom #1. Dette betyr da at ∞ + 1 = ∞

 

Du tenker kanskje at ∞ - ∞ = 0, og det kan det være, men det kan det også ikke være. Grunnen er enkel, se for deg at uendelig mange sjekker ut fra hotellet, men jeg blir igjen. Da blir det ∞ - ∞ = 1

[chokke]

Eneste jeg fikk utfra den posten er at ∞ - ∞ er nesten en brukbar smiley.

Uendelig kan du ikke fylle opp, så du har en selvmotsigelse.

Du kan ikke ha uendelig antall plasser, fyllt opp med et endelig antall folk, så utvide til uendelig og ikke lenger være fullt.

[RubenBM]

Denne er jo en klassiker:

 

(1) Sentence 2 is false.

(2) Sentence 3 is true.

(3) Sentence 1 is false.

 

eller Hilberts hotell (copy/pasta fra en annen post jeg har lagd)

 

Se for deg at du drar på et hotell med uendelig mange rom. Du kommer inn og spør etter et rom, men du blir fortalt at alle rommene er opptatte. Du kommer da med løsningen at siden det er uendelig mange rom, kan alle bytte rom til ett romnummer høyere, for da får du plass i rom #1. Dette betyr da at ∞ + 1 = ∞

 

Du tenker kanskje at ∞ - ∞ = 0, og det kan det være, men det kan det også ikke være. Grunnen er enkel, se for deg at uendelig mange sjekker ut fra hotellet, men jeg blir igjen. Da blir det ∞ - ∞ = 1

 

Blir alltid paradokser når man snakker om uendelighet ettersom uendelighet i seg selv er et paradoks:

Hva er egentlig uendelighet?

Hvordan kan noe være uendelig?

Kan noe uendelig ha en begynnelse?

Er uendelighet en egenskap?

 

Det er vel bare ett av de mange sorte hull i den menneskelige forstand.

[RubenBM]

Hvis eselet tenker 100 % rasjonelt, ville det umiddelbart innsett at i valget mellom to likeverdige alternative matkilder, så triller man en mental terning, og tar et tilfeldig valg, fordi ingen optimalisering er mulig, og det er kjipt å sulte i hjel.....

 

Enig. Mange "paradokser" er egentlig "paradokser" kun fordi de ikke tar hensyn til alle de relevante parametrene for å skape et logisk gyldig argument; i dette tillfellet muligeheten for - som du sier - å velge en tilfeldig og slippe å sulte i hjel.

[kokebok]

Paradokser er kun mulig dersom en kan gå tilbake og endre i retrospektiv. Fordi en ramme følger en annen er det naturlig å tenke at paradokser umulig kan eksistere. Men dersom du tar ett og ett stillbilde av paradoksalets tidsramme er det med ett ikke så en stor umulighet lenger.

[Husam]

Paradokset om haren og skilpadden er et av Zenons paradokser. Han har noen interessante paradokser som har irritert matematikere i årtusener, men likevel syns jeg at noen av dem blir litt intetsigende. Som for eksempel dette med haren og skilpadden: Det han gjør er jo bare hovedsaklig å velge en innfallsvinkel på begivenheten som fra første stund ikke kan samstemme med begivenhetens virkelighet. Som nevnt over vet vi at i virkeligheten tar haren skilpadden raskt igjen, men hvis man velger å se bort fra km/t og kontinuerli fart og heller se på det stykkedelt i skilpaddens favør vil man ende opp med en uendelighet (paradoks) - denne sellektive metoden kan benyttes på mange områder for å komme til paradokser.

 

Her er et annet av Zenon:

 

- Et hvetekorn er ikke en haug, og man kan ikke gjøre en ikke-haug til en haug ved å legge til et enkelt korn.

 

- Hvis man starter med et korn og legger til enda et, får man med andre ord ingen haug. Og hvis man legger til enda et korn får man heller ingen haug - og så videre ad infinitum (i det uendelige). Dermed er det umulig å lage en haug ved å legge på korn.

 

Når det gjelder skilpadden og haren er jeg selvsagt enig i at det ikke er et genuint paradoks. Det er i stedet en dårlig tankerekke selv om den tilsynelatende kan virke fornuftig. Men det er interessant å tenke på nøyaktig hvilken lengde haren vil passere skilpadden når vi vet at desimalene etter 11,1111(...) meter fortsetter i det uendelige. Kom til å tenke på den fascinerende dokumentaren "How long is a piece of String?" av Alan Davies da jeg skrev ned skilpadde/hare-historien, og går man inn for å måle HELT nøyaktig lengde på atomnivå ved å bevege seg inn i kvantefysikken så møter man jo til slutt på et virkelig paradoks.

 

Når det gjelder hvetekorn-eksempelet skjønner jeg ikke helt hva som er paradokset. Hvorfor kan man ikke si at man kan gjøre en "ikke-haug" til en "haug" ved å legge til et korn? Det kommer jo helt an på hvordan man definerer haug. Jeg regner med at det har med dårlig oversettelse av ordet "haug" å gjøre, og at det originale ordet på Zenons språk muligens er (eller var) litt klønete definert.

 

Paradokser er kun mulig dersom en kan gå tilbake og endre i retrospektiv. Fordi en ramme følger en annen er det naturlig å tenke at paradokser umulig kan eksistere. Men dersom du tar ett og ett stillbilde av paradoksalets tidsramme er det med ett ikke så en stor umulighet lenger.

 

Paradokser er vel alltid mulig så lenge vitenskapelige teorier kan være ufullstendige eller helt gale.

[Quazer-]

Paradokser som bruker uendelig er jo bare for underholdningen sin skyld, man kan ikke løse dem praktisk.

[RubenBM]

Kom til å tenke på den fascinerende dokumentaren "How long is a piece of String?" av Alan Davies da jeg skrev ned skilpadde/hare-historien, og går man inn for å måle HELT nøyaktig lengde på atomnivå ved å bevege seg inn i kvantefysikken så møter man jo til slutt på et virkelig paradoks.

 

Da er man vel inne på uendelighet igjen: Det er uendelig hvor nøyaktig man kan måle en linje ettersom man alltid kan gå enda lenger ned, ergo vil man aldri finne ut hvor lang den egentlig er, noe sånt?

 

Når det gjelder hvetekorn-eksempelet skjønner jeg ikke helt hva som er paradokset. Hvorfor kan man ikke si at man kan gjøre en "ikke-haug" til en "haug" ved å legge til et korn? Det kommer jo helt an på hvordan man definerer haug. Jeg regner med at det har med dårlig oversettelse av ordet "haug" å gjøre, og at det originale ordet på Zenons språk muligens er (eller var) litt klønete definert.

 

Kan nok stemme det. Tror egentlig bare "paradokset" er at det blir merkelig å definere en haug som et konkret antall: Derav kan man legge på ett og ett korn uten at det blir en haug fordi ett korn gjør ikke forskjellen fra ikke-haug til haug (eksempelvis sier man vanligvis ikke at 26 korn er ikke en haug, mens 27 korn er en haug). Som du sier handler det nok mer om klønete definisjon enn et "ekte" paradoks.

Endret 20. mai 2013 av RubenBM

[Skjeggape]

Et annet bra paradoks:

 

Om du skriver et testamente i dette øyeblikket, og spesifiserer blant annet følgende:

 

"Enhver etterfølger av undertegnede av dette dokumentet pliktes til å ta i bruk en tidsmaskinsapparat, heretter kalt Apparat, i det øyeblikk et slik Apparat blir oppfunnet, og med et slikt Apparat dra tilbake til tidspunktet og sted hvor dette dokumentet ble skrevet."

 

Ville du som skrev dette bli besøkt av noen fra fremtiden da? :-P

[RubenBM]

Et annet bra paradoks:

 

Om du skriver et testamente i dette øyeblikket, og spesifiserer blant annet følgende:

 

"Enhver etterfølger av undertegnede av dette dokumentet pliktes til å ta i bruk en tidsmaskinsapparat, heretter kalt Apparat, i det øyeblikk et slik Apparat blir oppfunnet, og med et slikt Apparat dra tilbake til tidspunktet og sted hvor dette dokumentet ble skrevet."

 

Ville du som skrev dette bli besøkt av noen fra fremtiden da? :-P

 

Her et lignende som også handler om tidsreise (veldig mye paradokser på dette området):

 

Hvis du lager en tidsmaskin, tar med deg en pistol og reiser 5 minutter tilbake i tid og dreper deg selv, har du da drept deg selv med tanken på at du gjorde det før du egentlig fikk anledning til å drepe deg selv?

Endret 20. mai 2013 av RubenBM

[Potetmann]

Den enkle løsningen på tidsmaskin-paradoksene er at det ikke er mulig å reise bakover i tid.

[Husam]

Da er man vel inne på uendelighet igjen: Det er uendelig hvor nøyaktig man kan måle en linje ettersom man alltid kan gå enda lenger ned, ergo vil man aldri finne ut hvor lang den egentlig er, noe sånt?

 

Ja, det er problemet rent matematisk. Det mer interessante problemet oppstår derimot ved å måle tråden på atomnivå, fordi partiklene i tråden kan være flere steder på samme tid.