Den enorme matteassistansetråden

Weey · 11. desember 2011

kan du forklare litt ? jeg skjønner ikke helt hvordan du kom frem til den utrekningen

hockey500 · 11. desember 2011

regner med at det var 5^x / 2^x => (5/2)^x du ikke skjønte?

det er en helt generell regel:

$chart?cht=tx&chl=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\overbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot...\cdot\frac{a}{b}}^{\mbox{x ganger}}=\frac{a\cdot a\cdot...\cdot a}{b\cdot b\cdot...\cdot b}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$

Lise1111 · 11. desember 2011

Hei!

Hvordan kan jeg gjøre enklere e^(3ln4-4ln3) ?

jeg tenker å gjøre slik :

3ln4 - 4ln3 =0

og regner etterpå med kalkulator og får svar på 0,235

men det stemmer ikke med fasiten som er 64/81

jeg slitter med logaritmer :cry:

logaritmemannen · 11. desember 2011

1. Bruk logaritmereglene for potenser.

2. Husk at lna -lnb kan skrives som lna/lnb

3. e^(lnx)=x

Endret 11. desember 2011 av logaritmemannen

Lise1111 · 11. desember 2011

1. Bruk logaritmereglene for potenser.

2. Husk at lna -lnb kan skrives som lna/lnb

3. e^(lnx)=x

takk for hjelpen , løser nå oppgave !!!so happy now !!!

Jaffe · 11. desember 2011

1. Bruk logaritmereglene for potenser.

2. Husk at lna -lnb kan skrives som lna/lnb

3. e^(lnx)=x

På 2 mener du nok ln(a/b)!

maikenflowers · 11. desember 2011

1. Bruk logaritmereglene for potenser.

2. Husk at lna -lnb kan skrives som lna/lnb

3. e^(lnx)=x

På 2 mener du nok ln(a/b)!

Det er det samme som lna/lnb, da?

Endret 12. desember 2011 av maikenflowers

Jaffe · 11. desember 2011

Nei, det er det ikke. Bare prøv med f.eks. 1/2: $2) \approx -0.693$ , mens $chart?cht=tx&chl=\frac{\ln 1}{\ln 2} = 0$ .

maikenflowers · 11. desember 2011

Nei, det er det ikke. Bare prøv med f.eks. 1/2: $2) \approx -0.693$ , mens $chart?cht=tx&chl=\frac{\ln 1}{\ln 2} = 0$ .

Stemmer! Where's my head at?

Blax · 12. desember 2011

Kan noen kjapt si meg how to: 1/2 = 3/4^x

eksponentiallikning

Jaffe · 12. desember 2011

Ta logaritmen av hver side og bruk at $chart?cht=tx&chl=\log(a^b) = b \log a$ .

Blax · 12. desember 2011

Sjølsagt svaret blir 2.41

Lenge siden jeg har drevet med matte! allm.påbygg ftw..

logaritmemannen · 12. desember 2011

På 2 mener du nok ln(a/b)!

Jepp, der glemte jeg meg litt

hoyre · 12. desember 2011

Hei!

Noen som kan hjelpe meg litt med vektorproduktet. Sliter litt med å få hvorfor man har et vektorprodukt. Jeg klarer å regne med det, men skjønner ikke hvorfor jeg kan bruke det til å finne areal av parallellogrammer og volum av pyramider etc. I boken prøver de å forklare noe av det med høyrehåndssystemet.

På forhånd takk!

Lise1111 · 12. desember 2011

hei..håper noen kan hjelpe meg med denne oppgave, da eksamen er på fredag :dontgetit:

Overskuddet ved produksjon og salg av x enheter av produkt A og y enheter av produkt B er gitt ved :

π (x,y) = --12 x2—16 y2—12xy+4992x +6240y—64000

a)Hvilken kombinasjon av x og y gir størst overskudd og hvor stor er overskuddet da ?

Det viser seg at bedriften har en teknisk begresning på produksjonen knyttet til råstofftilgang slik en må tilfredstille betignelsen x+y ≤1000.

Samtidig er det slik at hvis produksjonen starter opp så vil x+y ≥300

b) Hvilken kombinasjon av x og y vil gi størst overskudd og hvor stort er overskuddet da ?

Jeg prøvde å løse :

Steg 1 : deriverer funksjon og setter lik 0

får da ∏`(x,y) = --24x –32 y –12 +4992+6240

∏`(x,y) = --24x—32y+11220

Steg 2 : ????

takk for eventuelt svar

Jaffe · 12. desember 2011

Hei!

Noen som kan hjelpe meg litt med vektorproduktet. Sliter litt med å få hvorfor man har et vektorprodukt. Jeg klarer å regne med det, men skjønner ikke hvorfor jeg kan bruke det til å finne areal av parallellogrammer og volum av pyramider etc. I boken prøver de å forklare noe av det med høyrehåndssystemet.

På forhånd takk!

Vektorproduktet er, på samme måte som skalarproduktet, en definisjon. Man har rett og slett definert denne operasjonen på to vektorer fordi det viser seg at det er nyttig. Det er definert slik at vektorproduktet $chart?cht=tx&chl=\vec{u} \times \vec{v}$ skal være en ny vektor som er slik at det har en retning som står vinkelrett på de to andre vektorene - i henhold til høyrehåndsregelen, og ha en lengde som er gitt ved $chart?cht=tx&chl=|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \dot \sin \angle(\vec{u}, \vec{v})$ .

Så langt er dette en ren geometrisk definisjon. Definisjonen sier ingenting annet enn at for å finne et vektorprodukt mellom to vektorer så må du finne en vektor som står vinkelrett på disse, og er slik at når du legger høyrehånda langs den første vektoren og snur fingrene mot den andre, så peker tommelen i vektorproduktets retning. Når du har funnet en slik vektor så skal du skalere den slik at den er like lang som produktet av lengdene til hver vektor, ganger sinus til vinkelen mellom dem.

Fra hvordan vektorproduktet er definert så følger det direkte at lengden må være lik arealet av parallellogrammet som er utspent av de to vektorene som er tatt produktet av. Tenk deg at du deler parallellogrammet i to med en diagonal på tvers fra spissen av den ene vektoren til spissen av den andre. (Tegn en figur) Da får du to trekanter. Er du med på at arealet av hver av trekantene er gitt ved sinussetningen: $chart?cht=tx&chl=\frac{1}{2} |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin \angle{\vec{u}, \vec{v})$ ? (Sinussetningen bør du være kjent med fra 1T eller R1?) Men da må jo hele parallellogrammet ha et areal som er det dobbelte av dette: $chart?cht=tx&chl=2 \cdot \frac{1}{2} |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin \angle(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u} \times \vec{v}|$ .

Når man har gjort denne definisjonen av vektorproduktet så kan man gå videre med å bevise at $chart?cht=tx&chl=\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ (dette har du kanskje en forklaring på?) og at $chart?cht=tx&chl=\vec{u} \times \vec{u} = 0$ (dette også?). Man kan også vise at $chart?cht=tx&chl=\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ (dette er vanskeligere å vise), altså at den vanlige regelen for ganging med parenteser også gjelder for vektorproduktet. Når man har disse tingene på plass så kan man utlede en formel for kryssproduktet på koordinatform. Man begynner da med to vektorer $[a_1, a_2, a_3]$ og $[b_1, b_2, b_3]$ . Så må man huske på at disse notasjonene egentlig betyr. I det første tilfellet: $chart?cht=tx&chl=[a_1, a_2, a_3] = a_1 \vec{e}_x + a_2 \vec{e}_y + a_3 \vec{e}_z$ , der $chart?cht=tx&chl=\vec{e}$ -vektorene er enhetsvektorer i henholdsvis x-, y- og z-retning. Å utlede en formel for kryssproduktet på koordinatform blir altså det samme som å forenkle følgende uttrykk: $chart?cht=tx&chl=(a_1 \vec{e}_x + a_2 \vec{e}_y + a_3 \vec{e}_z) \times (b_1 \vec{e}_x + b_2 \vec{e}_y + b_3 \vec{e}_z)$ . Tar man i bruk alle de regnereglene jeg nevnte man kan utlede ovenfor, så kommer man da frem til at kryssproduktet blir vektoren $[a_2b_3 - b_2a_3, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1]$ . Denne formelen er du sikkert kjent med, men du setter det mest sannsynlig opp som en determinant eller lignende?

En annen ting du nevnte var å bruke kryssproduktet til å finne volumet av pyramider og så videre. Det er strengt tatt ikke en sak som har med kryssproduktet i seg selv å gjøre. Arealet av parallellogrammet hadde det, for det lå som en del av definisjonen av kryssproduktet. Det såkalte "volumproduktet" er egentlig ikke annet enn litt geometri: Husk at volumet av en pyramide er gitt ved arealet av grunnflaten ganger høyden, $chart?cht=tx&chl=V = \frac{1}{3}Gh$ . Vi kan se på en pyramide med et parallellogram ABCD som grunnflate, og et topp-punkt E. Hva er arealet av grunnflaten? Jo, det er kryssproduktet, som vist ovenfor, så $chart?cht=tx&chl=G = |\vec{AB} \times \vec{AD|$ . Hva er høyden? Jo, hvis vi tegner en figur så ser vi at komponenten av $chart?cht=tx&chl=\vec{AE}$ som står normalt på grunnflaten må være høyden:

Denne komponenten er gitt ved $chart?cht=tx&chl=|\vec{AE}| \cdot \cos v$ , der v er vinkelen som er vist i figuren. Det totale volumet er altså: $chart?cht=tx&chl=V = \frac{1}{3}Gh = \frac{1}{3}|\vec{AB} \times \vec{AD}| \cdot |\vec{AE}| \cdot \cos v$ . Men $chart?cht=tx&chl=\vec{AB} \times \vec{AD}$ står jo per definisjon normalt på parallellogrammet, så vinkel v er vinkelen mellom $chart?cht=tx&chl=\vec{AB} \times \vec{AD}$ og $chart?cht=tx&chl=\vec{AE}$ ! Når har vi altså et uttrykk bestående av produktet av to vektorers lengde ganger cosinus av vinkelen mellom dem. Det er skalarproduktet av de to vektorene. Altså kan vi konkludere med at $chart?cht=tx&chl=V = \frac{1}{3}Gh = \frac{1}{3}|\vec{AB} \times \vec{AD}| \cdot |\vec{AE}| \cdot \cos v = \frac{1}{3}(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}$ .

Edit: for en mer korrekt behanlding av emnet, se wingeers innlegg under. Ta dette mer som en mindre formell 'forklaring'.

Endret 12. desember 2011 av Jaffe

wingeer · 12. desember 2011

Grunnen til at en har vektorproduktet er at en i R3 kan lage en vektor som står ortogonalt på to vektorer. Dette er ofte ganske nyttig.

Vi har en regel som sier at:

$chart?cht=tx&chl=||\vec{u} \times \vec{v}||=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot sin(\theta)$ hvor theta er vinkelen mellom u og v. Dersom du nå tegner opp et parallellogram definert av u og v og ser på høyre side av ligninger er det åpenbart at dette representerer arealet av parallellogramet. Hvordan en kommer frem til denne regelen er litt mer omstendig. Det bunner egentlig bare ut i regneregler for vektorproduktet.

For å finne volumet av en pyramide (her er det underforstått at pyramiden har en kvadratisk base) finner vi først volumet av et parallellepiped:

Det følger i noen av samme linjene som det over, men her blander vi også inn skalarproduktet. Si at vi har tre vektorer a,b og c som danner et parallellepiped. Vi ser først på b og c, og danner en vektor som står ortogonalt på begge disse. Denne vektoren er $chart?cht=tx&chl=b \times c$ , og vi vet da at arealet av basen er lik: $chart?cht=tx&chl=||b \times c||$ Vi trenger nå kun å finne høyden av parallellepipedet. Det er her skalarproduktet kommer inn, og det kan vises at høyden er lik:

$chart?cht=tx&chl=\frac{|a \cdot (b \times c)|}{||b \times c||}$ . Volumet er da lik arealet av basen ganger med høyden som gir oss:

$chart?cht=tx&chl=V=||b \times c|| \frac{|a \cdot (b \times c)|}{||b \times c||}=|a \cdot (b \times c)|$ . Som kan regnes ut som en determinant.

wingeer · 12. desember 2011

Sammen med Jaffe sin utmerkede forklaring burde dette gå som smurt nå.

randome · 12. desember 2011

Hei!

Jeg lurte på hvordan man ser dette? er det noe man kan se fort eller trengs det noen utregninger?

Takker

kloffsk · 12. desember 2011

Sammen med Jaffe sin utmerkede forklaring burde dette gå som smurt nå.

Jepp, fin forklaring!

Siden du slår meg som en ivrig matematikkstudent kan du kanskje finne glede i at kryssproduktet a x b er like Hodge-dualen til bivektoren a^b. Dette har da en naturlig generalisering til høyere dimensjoner (der jeg med dimensjon både mener embedding-dimensjon og antall vektorer). En nyttig konsekvens av dette er når en ønsker å integrere over overflater med ko-dimensjon større enn 1. Fra grunnkursene i analyse husker en at for å integrere over overflaten X trenger en å kjenne normen til kryssproduktet dX/ds X dX/dt. Men hva skjer når man ikke befinner seg i R^3? Fortvil ikke, en kan bare ta normen til bivektoren dX/ds ^ dX/dt!

Hvis du vil vite mer kan jeg tipse deg om relevant litteratur. (Dessverre undervises ikke slike ting som det her før tidligst i første kurs i mangfoldigheter.)

Endret 12. desember 2011 av kloffsk

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer