Den enorme matteassistansetråden

N o r e n g · 14. januar 2019

Den delen jeg ikke skjønner er at hvis 2 er faktor i a^2=2b^2 så er 2 også faktor i a. Jeg prøvde med a=3 og da stemte det ikke.

Eksempelet gikk ut på om kvadratroten av 2 kunne skrives for brøk, da vil du jo ikke få naturlige tall.

Du må være klar over en liten ting for å løse denne:

Si man har et partall c, det kan skrives på formen

$chart?cht=tx&chl=c = 2n, n \in \mathbb{Z}$

Da har vi at:

$c^2 = 4n^2$

Det som er viktig her er at hvis et kvadrert heltall er et partall, så er også kvadratroten av tallet et partall, følgelig er et kvadrert partall delelig på 4 og fortsatt et heltall.

Jeg har ikke vist at et oddetall kvadrert fortsatt er odd, men det er ikke spesielt vanskelig.

Det tillater oss å gå tilbake til din originale oppgave, å finne tallene a og b slik at

$chart?cht=tx&chl=(\frac a b)^2 = 2$ der $chart?cht=tx&chl=a,b \in \mathbb{Z}$ , samt a og b har ingen felles faktor slik at brøken bruker de minst mulige passende tall.

$a^2 = 2b^2$

Siden vi vet at det er mulig å skrive om $a^2$ til et annet tall velger jeg nå d

$2b^2 = 4d^2$

$b^2 = 2d^2$

Nå dukker det opp et problem: $b^2$ er et partall! Siden man har antatt at a og b ikke har noen felles faktor, men dette likevel er tilfelle bryter dette med antagelsen og det eksisterer ingen løsning!

Alternativt kan man påpeke at dette blir en uendelig sløyfe, og det derfor ikke finnes noen endelig løsning.

15. januar 2019

Hei,

Jeg har funksjonen f som er well-behaved (klasse c5) på et lukket intervall.

Læreboken gjør et stort poeng ut av forskjellen:

for alle f som er c5 på intervallet, kan man finne en c>0 slik at |f'(a)-(f(a+h)-f(a))/h| < ch^2 a ligger i intervallet

og

det finnes en c>0 slik at for alle f som er c5 på intervallet man har |f'(a)-(f(a+h)-f(a))/h| < ch^2

Man argumenterer med at den siste er feil fordi man ikke kan finne EN c som vil fungere for alle f. Men i mitt hode kan jeg lete gjennom alle f og ta den c-verdien som er høyest. Da har jeg funnet en c som fungerer for alle f. Jeg vil måtte lete gjennom et uendelig antall funksjoner, men hvorfor skal ikke det være lov? Siden f er well-behaved så kan jeg garantere at den ikke går til uendelig på intervallet, ergo vil alle c være reelle tall.

wertyuiopå · 15. januar 2019

Alle rasjonelle tall kan skrives som en brøk av to naturlige tall.

Jeg beklager, men jeg forstår ikke hva du mener med at 2 er en faktor i ligningen.

Tror jeg forklarte meg litt dårlig. Hvis du ser bort i fra beviset og fra hvordan sqrt(2) kan skrives. Hva er det da som gjør at hvis 2 er faktor i a^2=2b^2 så er 2 også faktor i a. Tar du roten av begge sider så får du a=sqrt(2)*b som gir a=1,414*b.

Jeg prøvde å sette inn verdier for a og b. a=3 og b=sqrt(4,5)=2,1213 og da fikk jeg:

3^2=2*2,12^2 ---> 9=2*4,5 --->9=9. Hvis jeg derimot kvadrerte begge sidene og lot 2-tallet stå uendret så ble verdiene endret. a=2b ---> 3=2*2,12 ---> 3=4,24.

Jeg får det ikke til å stemme uten å kvadrere hele høyre siden. 3=sqrt(2)*2,12 ---> 3=3.

Det jeg ikke forstår da er: Hvordan kan 2 være faktor i a^2=2b^2 når begge sidene blir kvadrert? Hva er regneregelen som sier at dette går?

Endret 15. januar 2019 av wertyuiopå

15. januar 2019

Tror jeg forklarte meg litt dårlig. Hvis du ser bort i fra beviset og fra hvordan sqrt(2) kan skrives. Hva er det da som gjør at hvis 2 er faktor i a^2=2b^2 så er 2 også faktor i a. Tar du roten av begge sider så får du a=sqrt(2)*b som gir a=1,414*b.

Jeg prøvde å sette inn verdier for a og b. a=3 og b=sqrt(4,5)=2,1213 og da fikk jeg:

3^2=2*2,12^2 ---> 9=2*4,5 --->9=9. Hvis jeg derimot kvadrerte begge sidene og lot 2-tallet stå uendret så ble verdiene endret. a=2b ---> 3=2*2,12 ---> 3=4,5.

Jeg får det ikke til å stemme uten å kvadrere hele høyre siden. 3=sqrt(2)*2,12 ---> 3=3.

Det jeg ikke forstår da er: Hvordan kan 2 være faktor i a^2=2b^2 når begge sidene blir kvadrert? Hva er regneregelen som sier at dette går?

Her godtar du at b ikke er et naturlig tall. a og b er naturlige tall. Om ikke, så fungerer ikke beviset.

15. januar 2019

Hei,

Jeg har funksjonen f som er well-behaved (klasse c5) på et lukket intervall.

Læreboken gjør et stort poeng ut av forskjellen:

for alle f som er c5 på intervallet, kan man finne en c>0 slik at |f'(a)-(f(a+h)-f(a))/h| < ch^2 a ligger i intervallet

og

det finnes en c>0 slik at for alle f som er c5 på intervallet man har |f'(a)-(f(a+h)-f(a))/h| < ch^2

Man argumenterer med at den siste er feil fordi man ikke kan finne EN c som vil fungere for alle f. Men i mitt hode kan jeg lete gjennom alle f og ta den c-verdien som er høyest. Da har jeg funnet en c som fungerer for alle f. Jeg vil måtte lete gjennom et uendelig antall funksjoner, men hvorfor skal ikke det være lov? Siden f er well-behaved så kan jeg garantere at den ikke går til uendelig på intervallet, ergo vil alle c være reelle tall.

For hver M > 0, kan jeg se på funksjonen f_M:[0, 1]--> R, definert som f_M(x) = M*exp(x) (er i C^\infty, altså spesielt også i C^5), nå vil c essensielt være porposjonal med M (sjekk selv hva konstanten c blir med en Taylorrekke, god oppgave), altså vil c gå mot uendelig når M går mot uendelig, altså vil ikke ditt søk gi en uendelig c.

Problemet er at argumentet du lager ikke har noen garanti for at den c-en du finner er begrenset (ikke uendelig) (det du gjør kunne faktisk fungert hvis du først kunne vist at c var begrenset -- noe den ikke er i dette tilfellet, men likevel). Du ville da gjort argumentet via sup (minste øvre skranke), og det ville fungert, HVIS c hadde vært begrenset. Hvis du hadde sett på funksjoner som hadde andrederivert mindre enn en konstant K, ville argumentet fungert (da vil du essensielt ende opp med at c = K/2)

Endret 16. januar 2019 av Slettet+5132

15. januar 2019

For hver M > 0, kan jeg se på funksjonen f_M:[0, 1]--> R, definert som f_M(x) = M*exp(x) (er i C^\infty, altså spesielt også i C^5), nå vil c essensielt være porposjonal med M (sjekk selv hva konstanten c blir med en Taylorrekke, god oppgave), altså vil c gå mot uendelig når M går mot uendelig, altså vil ikke ditt søk gi en endelig c.

Problemet er at argumentet du lager ikke har noen garanti for at den c-en du finner er begrenset (ikke uendelig) (det du gjør kunne faktisk fungert hvis du først kunne vist at c var begrenset -- noe den ikke er i dette tilfellet, men likevel). Du ville da gjort argumentet via sup (minste øvre skranke), og det ville fungert, HVIS c hadde vært begrenset. Hvis du hadde sett på funksjoner som hadde andrederivert mindre enn en konstant K, ville argumentet fungert (da vil du essensielt ende opp med at c = K/2)

Hei, takk for svar. Konstanten i f_M blir da M/n! ??

Jeg skjønner, men den første påstanden er jo sann: for alle f på intervallet kan jeg finne en c... Dvs. at c må være begrenset?

Jeg skjønner argumentet ditt og at funksjonen din vil gå mot uendelig og at følgende konstanten må gå mot uendelig, men jeg skjønner ikke hvordan dette er forenelig med den første påstanden. Takk for at du tar deg tid!

15. januar 2019

Hei, takk for svar. Konstanten i f_M blir da M/n! ??

Jeg skjønner, men den første påstanden er jo sann: for alle f på intervallet kan jeg finne en c... Dvs. at c må være begrenset?

Jeg skjønner argumentet ditt og at funksjonen din vil gå mot uendelig og at følgende konstanten må gå mot uendelig, men jeg skjønner ikke hvordan dette er forenelig med den første påstanden. Takk for at du tar deg tid!

For hver f er c begrenset, men det er ikke det samme som at når du tar den største c-en fra alle funksjoner får du noe begrenset.

For å ta et enklere eksempel, for hvert reelt tall c er c begrenset, men du kan ikke snakke om "det største reelle tallet c", siden det er ubegrenset. Hjalp det?

Og ja, konstanten blir M/n!, siden det er den andrederiverte blir det da M/2!=M/2.

Endret 15. januar 2019 av Slettet+5132

15. januar 2019

Jepp, jeg skjønner nå. Riktignok høres det litt paradoksalt ut, men det må være slik. Takk!

ingenhvem · 16. januar 2019

tan = 0,8

Hvordan finner jeg tan 2x? Har brukt formelen for dobbelt vinkel, men får feil svar.

Aleks855 · 16. januar 2019

$chart?cht=tx&chl=\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} = \frac{2\cdot 0.8}{1-0.8^2} = \ldots$

Bruker formel som vist her: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Double-angle_formulae

N o r e n g · 16. januar 2019

tan = 0,8

Hvordan finner jeg tan 2x? Har brukt formelen for dobbelt vinkel, men får feil svar.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Multiple-angle_formulae

$chart?cht=tx&chl=\tan {2 \theta} = \frac {2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

Gitt $\tan x = 0.8 = 4/5$

$25} = \frac {40}{9}$

Tester jeg med kalkulatoren får jeg $chart?cht=tx&chl=\tan (2 \arctan {0.8}) = 4.44444... = \frac {40} {9}$

Glemte du å kvadrere leddet i nevneren kanskje?

ingenhvem · 16. januar 2019

$chart?cht=tx&chl=\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} = \frac{2\cdot 0.8}{1-0.8^2} = \ldots$

Bruker formel som vist her: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Double-angle_formulae

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Multiple-angle_formulae

$chart?cht=tx&chl=\tan {2 \theta} = \frac {2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

Gitt $\tan x = 0.8 = 4/5$

$25} = \frac {40}{9}$

Tester jeg med kalkulatoren får jeg $chart?cht=tx&chl=\tan (2 \arctan {0.8}) = 4.44444... = \frac {40} {9}$

Glemte du å kvadrere leddet i nevneren kanskje?

Hm, jeg fikk samme svar som dere, men fasiten sier noe helt annet. :hmm:

N o r e n g · 16. januar 2019

Hm, jeg fikk samme svar som dere, men fasiten sier noe helt annet.

Da er det feil i fasiten

Bare å spørre læreren om du lurer, han vil nok svare det samme :wee:

Av nysgjerrighet, hva står det i fasit?

wertyuiopå · 16. januar 2019

Her godtar du at b ikke er et naturlig tall. a og b er naturlige tall. Om ikke, så fungerer ikke beviset.

Da ble jeg litt klokere, takk for hjelpen.

ingenhvem · 17. januar 2019

Da er det feil i fasiten

Bare å spørre læreren om du lurer, han vil nok svare det samme

Av nysgjerrighet, hva står det i fasit?

Tar R2 som privatist, så har ingen lærer.

Fasiten sier at tan 2x = -120/119. Ser at boken har brukt at tan 2x = sin 2x/cos 2x et annet sted også, men man får jo helt ulike svar om man bruker formel for dobbelt vinkel? :hmm:

N o r e n g · 17. januar 2019

Tar R2 som privatist, så har ingen lærer.

Fasiten sier at tan 2x = -120/119. Ser at boken har brukt at tan 2x = sin 2x/cos 2x et annet sted også, men man får jo helt ulike svar om man bruker formel for dobbelt vinkel?

Et litt mer umatematisk (praktisk) forslag:

regner med at du har blitt introdusert til arcus tangens (tan^-1 på noen kalkulatorer). Den omgjør tallverdien fra tangens til en vinkel (i radianer eller grader avhengig av innstilling på kalkulator).

Prøv arctangens(-120/119) og arctangens(4/5), sammenlign verdiene.

wertyuiopå · 18. januar 2019

Sliter litt med en oppgave om vektorregning. R1 utfordring 3.13:

Vis at du kan skrive likningen xa-v+yb-v=sa-v+tb-v som (x-s)a-v=(t-y)b-v. Bruk at a-v ikke er parallell med b-v til å begrunne at x=s og y=t.

Siden x=s og t=y vil det jo gjøre at (x-s)a-v=(t-y)b-v blir a-v=b-v. Det er det jeg ikke helt forstår og den andre delen av oppgaven som går ut på å begrunne at x=s og y=t.

ingenhvem · 18. januar 2019

Punktene A(1, 7, -1), B(3, 5, -1) og C(k+1, k+5, k) danner trekanten ABC.

a) Vis at trekanten er likebeint og regn ut arealet.

b) Finne det minste arealet trekanten har.

Hvordan regner jeg ut dette? Prøvde meg på å finne AB-vektor og AC-vektor, men AC-vektor bli jo stående med flere k-er.

18. januar 2019

Punktene A(1, 7, -1), B(3, 5, -1) og C(k+1, k+5, k) danner trekanten ABC.

a) Vis at trekanten er likebeint og regn ut arealet.

b) Finne det minste arealet trekanten har.

Hvordan regner jeg ut dette? Prøvde meg på å finne AB-vektor og AC-vektor, men AC-vektor bli jo stående med flere k-er.

Et par tips:

-En likebeint trekant har alltid to sider som er like lange.

-Pytagoras gir deg lengden på en vektor

-"Godta" at du har k og lat som det bare er et tall. Gjør utregningene likevel. Finner du at den ene vektoren har lengde "k" og den andre har lengde "k" så er begge like lange.

For arealet: Når du har funnet ut hvilke to sider som er like lange, så vet du hva den tredje siden vil være. Tegn en figur så ser du hvilke lengder du trenger for å regne ut arealet.

Håper dette hjelper. Si fra om det trengs utdyping.

N o r e n g · 18. januar 2019

Sliter litt med en oppgave om vektorregning. R1 utfordring 3.13:

Vis at du kan skrive likningen xa-v+yb-v=sa-v+tb-v som (x-s)a-v=(t-y)b-v. Bruk at a-v ikke er parallell med b-v til å begrunne at x=s og y=t.

Siden x=s og t=y vil det jo gjøre at (x-s)a-v=(t-y)b-v blir a-v=b-v. Det er det jeg ikke helt forstår og den andre delen av oppgaven som går ut på å begrunne at x=s og y=t.

Hei, du burde lære deg å skrive dette på latex slik at det blir lesbart, det vil også være til hjelp senere om du skal studere matematikk på universitet/høyskole. Skriver du:

[tex]x \vec{a} + y \vec{b} = s \vec{a} + t \vec{b} [/tex]

Får du

$chart?cht=tx&chl=x \vec{a} + y \vec{b} = s \vec{a} + t \vec{b}$

Grunnleggende algebra er alt du trenger for å komme til:

$chart?cht=tx&chl=(x-s) \vec{a} = (t-y) \vec{b}$

Hva må til for at denne ligningen oppfylles?

Hvis a er parallell med b vil det si at det eksisterer et tall k slik at $chart?cht=tx&chl=\vec{a}=k \vec{b} , k \neq 0$

Hvis a ikke er parallell med b, hva må til for at ligningen skal kunne løses?

Endret 19. januar 2019 av N o r e n g

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Gjest Slettet+45613274

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+45613274

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+5132

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+45613274

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+5132

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+45613274

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+45613274

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer