Den enorme matteassistansetråden

[Camlon]

Jeg har et spørsmål selv nå. Jeg skal nå starte med geometri, men det er ikke sånn vanlig geometri som man lærer på allmenn i andre klasse. Det er eukledisk geometri og det hele går ut på å bevise at f.eks. en linje bisects en vinkel, eller at to vinkler er lik 180.. Desverre, har jeg lært ingenting om geometri og jeg har enorme problemer med halvparten av oppgavene. Det er heller ingen fasit i boken min, sånn at jeg kan trene meg opp. Boken antar også at man har hatt en del geometri før, siden den bare sier "dette har vi lært i tiderligere geometrikurs.

 

Er det noen her som har noen råd for hvordan jeg skal lære meg eukledisk geometri? Jeg har heller ikke nok tid til at jeg kan gå igjennom en elementærbok om geometri på 200 sider, før jeg starter på mitt eget pensum.

 

PS: Jeg selvstuderer faget (Further Mathematics SL), så jeg kan ta geometrien senere etter et annet emne.

Endret 3. desember 2008 av Camlon

[2bb1]

Jeg pisser på meg av frustrasjon snart. Kunne noen fortalt meg hvordan jeg skal klare å tegne tanken?

 

"Oljeselskapet Noroil skal bygge en oljetank på Utøya. Tanken har sirkulær grunnflat. Hvis vi tenker oss at vi lager et snitt gjennom tanken x meter over bakken, får vi en sirkel med radius:

 

r(x) = sqrt(225-10x) hvor x begrenses av [0, 22, 5].

 

Jeg skal altså tegne tanken og også finne volumet av den.

[Awesome X]

Jeg pisser på meg av frustrasjon snart. Kunne noen fortalt meg hvordan jeg skal klare å tegne tanken?

 

"Oljeselskapet Noroil skal bygge en oljetank på Utøya. Tanken har sirkulær grunnflat. Hvis vi tenker oss at vi lager et snitt gjennom tanken x meter over bakken, får vi en sirkel med radius:

 

r(x) = sqrt(225-10x) hvor x begrenses av [0, 22, 5].

 

Jeg skal altså tegne tanken og også finne volumet av den.

 

For radien r(x) vil tverrsnittet av tanken ha arealet pi * ( r(x) )^2

 

Hvis høydent til dette tverrsnittet er dx vil volumet av dette tverrsnittet dV = pi * ( r(x) )^2 dx

[2bb1]

Ok. Tanken blir tydeligvis seende ut som en kjegle siden radius minker jo høyere x blir (jo høyre over bakken).

 

Så vil jeg finne ut radius i grunnflaten. Da er x = 0 (meter over bakken).

r(x) = sqrt(225-10x)

r(0) = sqrt(225-0)

r(0) = 15 meter (radius i grunnflaten).

 

Areal av grunnflaten blir da:

pi*r² -> pi*15² = 706,9 m²

 

Så vil jeg finne høyden i kjeglen. Den er på sitt høyeste når r(x) = 0.

r(x) = sqrt(225-10x)

r(22,5) = sqrt(0)

r(22,5) = 0 meter (radius -> toppen altså). Den er med andre ord 22,5 meter høy.

 

Volumet blir:

(grunnflate*høyde)/3 = (706,9*22,5)/3 = 5302 m³. Men dette blir feil!

 

Svaret skal bli: 7952 m³. Noen som ser en åpenbar feil?

Endret 3. desember 2008 av 2bb1

[Jaffe]

Den har ikke kjegleform (da ville r(x) vært en lineær funksjon). Den har en "rundere" form. Her må du nok integrere.

 

Edit: som Otth sier ja...

Endret 3. desember 2008 av Jaffe

[Awesome X]

Jeg som begynte å mistenke at jeg tenkte alt for komplisert, nå...

 

Se på det jeg skrev tidligere og hvis det ikke er tilstrekkelig, se i spoileren

 

 

 

 

 

[2bb1]

Ahh, beklager.

 

Du skrev:

dV = pi * ( r(x) )^2 dx

 

Jeg datt litt av når du skrev d-en foran V-en, men nå skjønner jeg i alle fall hva du ville frem til! Takk skal dere ha!

 

Edit: Altså det blir vel her snakk om volumet av et omdreiningslegemet, og at vi da må bruke formelen for dette.

Endret 3. desember 2008 av 2bb1

[dimdal]

Vektoroppgave:

 

Gitt punktene A (-1 , 2) og B (3 , 4)

 

c) finn avstanden fra punktet C (-1 , 7 ) til linja l ved regning.

 

Hvordan gjør jeg dette?

 

Det eneste jeg vet er at hvis jeg legger et punkt D på AB-vektoren vil CD-vektor stå normalt mot AB-vektor. Det tilsier igjen at vinkelen er 90 grader, og dermed er skalarproduktet 0.

 

Men jeg skjønner ikke hva jeg skal gjøre for å finne lengden av CD-vektor?

[Jaffe]

Jeg antar linja l går gjennom A og B?

 

Du kan uttrykke CD-vektor som CA-vektor + k * AB-vektor, ikke sant? Og som du sier skal denne vektoren ganger AB-vektor være lik 0. Setter du opp denne likninga kan du finne k, og dermed CD-vektor. For å finne lengden av denne bruker du bare pytagoras.

[dimdal]

Jeg antar linja l går gjennom A og B?

 

Du kan uttrykke CD-vektor som CA-vektor + k * AB-vektor, ikke sant? Og som du sier skal denne vektoren ganger AB-vektor være lik 0. Setter du opp denne likninga kan du finne k, og dermed CD-vektor. For å finne lengden av denne bruker du bare pytagoras.

 

Ja, linjen l går gjennom A og B.

 

Hmm, forstår det meste du sier, men er ikke helt med på hvorfor du kan uttrykke CD-vektor som CA-vektor + k * AB-vektor?

[Jaffe]

Du vil "gå" fra C til D. Det kan du gjøre ved å først gå fra C til A. Deretter kan du gå fra A til D. Fra C til A er jo CA-vektor, og et AD-vektor kan vi uttrykke som k * AB-vektor. Dermed har vi at CD-vektor = CA-vektor + k * AB-vektor.

 

(Selvsagt kan vi gå fra C til B og så fra B til D da.)

 

Edit: skisse:

Endret 3. desember 2008 av Jaffe

[dimdal]

Du vil "gå" fra C til D. Det kan du gjøre ved å først gå fra C til A. Deretter kan du gå et uvisst stykke langs linja. Fra C til A er jo CA-vektor, og et "uvisst stykke langs linja" er k * AB-vektor. Summen av disse blir CD-vektor.

 

Aah, nå forstår jeg. Tusen takk! Da ble det siste kvelden før eksamen. Takk for all hjelp!

[Awesome X]

Altså det blir vel her snakk om volumet av et omdreiningslegemet, og at vi da må bruke formelen for dette.

 

Å løse oppgaven som et omdreiningslegeme er en måte å løse oppgaven på. Selv om fremgangsmåten matematisk praktisk talt blir det samme finner jeg den litt mer tungvindt mentalt.

 

Skal du løse oppgaven som et omdreiningslegeme må du snu hele strukturen 90 grader og dreie den rundt x-aksen. Ikke noe problem i og for seg, men det blir mer abstrakt.

 

Jeg ser for meg at jeg ser rett ned på tanken som står vertikalt på bakken. Det jeg da ser er en rekke tverrsnitt med areal pi * r^2. For å finne volumet av strukturen må jeg da finne summen av alle tversnittene. Dette gjør jeg ved å gi tversnittene høyden dx.

[Jaffe]

Du vil "gå" fra C til D. Det kan du gjøre ved å først gå fra C til A. Deretter kan du gå et uvisst stykke langs linja. Fra C til A er jo CA-vektor, og et "uvisst stykke langs linja" er k * AB-vektor. Summen av disse blir CD-vektor.

 

Aah, nå forstår jeg. Tusen takk! Da ble det siste kvelden før eksamen. Takk for all hjelp!

 

Omformulerte meg litt og la til ei skisse, men du forsto det visst ja

 

Lykke til på eksamen

Endret 3. desember 2008 av Jaffe

[Xell]

Vektoroppgave:

 

Gitt punktene A (-1 , 2) og B (3 , 4)

 

c) finn avstanden fra punktet C (-1 , 7 ) til linja l ved regning.

 

Hvordan gjør jeg dette?

 

Det eneste jeg vet er at hvis jeg legger et punkt D på AB-vektoren vil CD-vektor stå normalt mot AB-vektor. Det tilsier igjen at vinkelen er 90 grader, og dermed er skalarproduktet 0.

 

Men jeg skjønner ikke hva jeg skal gjøre for å finne lengden av CD-vektor?

 

Jeg ville løst denne på følgende måte:

 

l = f(x) = a*x + b

 

a = (3-(-1))/(4-2) = 1/2

 

f(-1) = 1/2*(-1) + b = 2 => b = 5/2

 

vi vet at linjene står vinkelrett på hverandre (korteste avstand) og CD-vektoren derfor har stigningstall -2 (-1/a)

 

linjen som går gjennom C og D kan skrives på formen;

 

g(x) = -2*x + k

 

g(-1) = -2*(-1) + k = 7 => k = 5

 

finne punktet der linjen krysser hverandre;

 

g(x) = f(x)

 

-2*x + 5 = 1/2*x + 5/2 => x = 1

 

f(1) = 1/2*1 + 5/2 = 3

 

Vi skal altså finne lengden på linja fra (-1,7) til (1,3)

 

sqrt((1-(-1))² + (7-3)²) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)

[2bb1]

Kunne trengt litt hjelp med denne oppgaven også.

 

"Finn en eksakt verdi for BC uttrykt ved a".

 

Hvordan går jeg frem her? Vinklene som er oppgitt, skal de si meg noe om forholdet mellom sidene i trekanten, eller?

[Xell]

Finn høyden fra AB til C. Denne høyden deler trekanten i 2. en 30,60,90-trekant, og en likebebet trekant med vinkler 90,45,45. (tegningen er litt missvisende siden vinkelB er tegnet spissere enn 45grader)

 

 

Legger resten av løsningen i skjult-tag så du kan prøve deg fran med det jeg allerede har forklart før du titter på den

 

Klikk for å se/fjerne innholdet nedenfor

 

Jeg kaller punktet der høyden møter AB for D

 

sin60 = CD/a = 0,5*sqrt(3) => CD = a*0,5*sqrt(3)

 

BD = CD

 

BC = sqrt(BD² + CD²) = CD*sqrt(2) = a*0,5*sqrt(3)*sqrt(2) = a*sqrt(3/2)

 

Alternativt kan du bruke pytagoras på begge trekantene (jeg ville gjort det dersom jeg ikke husket at sin60 = 0,5sqrt(3) eller har mulighet for å slå opp denne verdien);

 

AD = 0,5*a (30,60,90-trekant)

 

BD = CD (likebenet trekant)

 

a² = CD² + AD² = CD² + (0.5*a)²

 

CD² = a² - (0.5*a)² = (3/4)*a²

 

BC² = CD² + BD² = 2*CD² = 2*(3/4)*a²

 

BD = a*sqrt(3/2)

 

 

[Awesome X]

Eller enda enklere: Bruk sinussetningen og sett inn eksaktverdiene.

[chokke]

Finn høyden fra AB til C. Denne høyden deler trekanten i 2. en 30,60,90-trekant, og en likebebet trekant med vinkler 90,45,45. (tegningen er litt missvisende siden vinkelB er tegnet spissere enn 45grader)

 

 

Legger resten av løsningen i skjult-tag så du kan prøve deg fran med det jeg allerede har forklart før du titter på den

 

Klikk for å se/fjerne innholdet nedenfor

 

Jeg kaller punktet der høyden møter AB for D

 

sin60 = CD/a = 0,5*sqrt(3) => CD = a*0,5*sqrt(3)

 

BD = CD

 

BC = sqrt(BD² + CD²) = CD*sqrt(2) = a*0,5*sqrt(3)*sqrt(2) = a*sqrt(3/2)

 

Alternativt kan du bruke pytagoras på begge trekantene (jeg ville gjort det dersom jeg ikke husket at sin60 = 0,5sqrt(3) eller har mulighet for å slå opp denne verdien);

 

AD = 0,5*a (30,60,90-trekant)

 

BD = CD (likebenet trekant)

 

a² = CD² + AD² = CD² + (0.5*a)²

 

CD² = a² - (0.5*a)² = (3/4)*a²

 

BC² = CD² + BD² = 2*CD² = 2*(3/4)*a²

 

BD = a*sqrt(3/2)

 

 

Sinussetningen gjør akkurat samme nytten.

 

sin(A)/BC = sin(B)/AC, AC = a,

BC = a*sin(A)/sin(B)

BC = a*sin(60)/sin(45)

BC = a* (sqrt(3)/2)/(sqrt(2)/2)

BC = a*sqrt(3/2)

[GeO]

Javisst er det det! Fader ass, jeg kommer ut fra skolen med 3MX, og det første jeg hører på universitetet og kalkulus 1 er hvor fantastisk ræv skolesystemet er og hvor dårlig vi står i forhold til det faglige nivået på universitetet. Jeg må si at de som tar R1 og R2 har en milelang fordel mot oss stakkarer som gikk skolen i reform 97, forbanna lave nivåer og crappy læremål. De har jo delbrøksoppspalting og en masse universitetsmatte i pensum nå! Jeg hadde aldri hørt om delbrøksoppspalting før jeg kom til universitetet, men jeg har da klart meg bra så langt til tross for min "manglende" bakgrunn.

 

Forbanna heldige kids som går på VGS nå...

I feel you.

Det som er nytt for meg, som de kan etter vgs neste år er vel komplekse tall, delbrøksoppspaltning, polynomdivisjon, mer integrasjon og derivasjon, differensialligninger?

Det er nesten hele pensum i to mattefag jeg har nå.

 

Er ganske mye nytt i den nye læreplanen ja. Jeg kan ikke klage

 

Men komplekse tall er ikke pensum for alle, kun de som velger det 3-timers valgfaget Matematikk X (i det andre året, parallellt med R1). I tillegg til komplekse tall lærer de (heldige) som har valgt det tallteori (kongruenser, RSA-kryptering, etc.) og enda mer sannsynlighet og statistikk enn i de andre mattefagene.

 

Aschehoug har faktisk lagt ut to kapitler (komplekse tall og tallteori) fra Matematikk X-boka si, for de som er interesserte her.

Jeg ble sittende og se litt på dette kapittelet om komplekse tall (litt av det samme som vi gikk gjennom i den første uken med matematikk i andre semester på NTNU, forresten). Ganske artig å lese om hvordan forholdene var ved italienske universiteter på 1500-tallet - at professorer kunne utfordre hverandre til tvekamp, og at man kunne erobre en annens professorat ved å lage oppgaver den andre ikke kunne løse. Slike anekdoter står det alt for få av i de fleste mattebøker.