Den enorme matteassistansetråden

diskus123 · 10. juni 2013

Går det ann å skrive noe=uendelig, eller kan det kun defineres som at det går mot uendelig?

Aleks855 · 10. juni 2013

Går det ann å skrive noe=uendelig, eller kan det kun defineres som at det går mot uendelig?

Nei og ja.

Uendelig er ikke en verdi. Det er en grenseverdi. Derfor kan vi ikke si at $chart?cht=tx&chl=x=\infty$ men som du ser ut til å ha skjønt, så kan vi godt si at $chart?cht=tx&chl=x \to \infty$

Janhaa · 10. juni 2013

*Tåpelig mange NTNU fagDu vet sånne rare fag med matte og fysikk som inneholder tall og ikke bokstaver, og som gjør at du ikke kan bli tatt alvorlig i denne tråden. Prøv heller http://mathoverflow.net/ =)

rimelig høyttravende math forum...er jo noen zero answers der også... :-)

D3f4u17 · 10. juni 2013

Uendelig er ikke en verdi. Det er en grenseverdi. Derfor kan vi ikke si at $chart?cht=tx&chl=x=\infty$ men som du ser ut til å ha skjønt, så kan vi godt si at $chart?cht=tx&chl=x \to \infty$

$chart?cht=tx&chl=M=\lim_{x\to\infty} x$

$chart?cht=tx&chl=M=\infty$

Man kan vel si så …

Endret 10. juni 2013 av D3f4u17

M@rtin · 10. juni 2013

Er det noen som husker spørreprogrammet "Alle mot 1" som gikk på tv2? Jeg husker at da det gikk ble jeg veldig interessert i hvor mye man maksimalt kunne vinne. Spørreprogrammet gikk ut på følgende:

Det er hundre personer i salen (som du kjemper mot) og du får penger når noen av dem ryker ut. Du kan vinne 500 000 kr på hvert spørsmål. Dvs at for hver person som ryker på første spørsmål så får du 5000 kr (500 000 / 100). Sett at 50 personer ryker får du derfor 250 000 kr.

På det neste spørsmålet er det jo nå 50 personer igjen og for hver av dem som ryker får du 10 000 kr. (500 000 / 50)

and so on and so forth, så om man kommer til spørsmål 15 (som forresten er det siste spørsmålet du får) og det er kun 1 person igjen vil denne personen være verdt 500 000 kr om han ryker ut. (500 000 / 1)

OG VIKTIG: man kunne doble summen på ett av spørsmålene (som man selvsagt burde gjøre på det 15. spm og med kun en konkurrent igjen.

Spørsmålet som gnagde meg da det gikk og som jeg ikke fikk svar på i et annet forum er altså hvor mye kan man vinne, og hvordan skulle man matematiskt bevise dette?

Jeg har satt opp en utregning i excel hvor jeg ved å forandre på hvor mange som ryker ut på hvert spørsmål får den totale summen, men dette er jo bare å lete seg frem.

Det meste jeg har funnet ut at en person kan vinne (på denne måten) er 2,43 mill.kr.

.spm # : antallet som ryker: kr for hver som ryker: sum

spm 1 : 30 : 5000 : 150 000 kr

spm 2 : 21 : 7142 : 149 000 kr

spm 3 : 10 : 10204: 102 040 kr

spm 4 : 8 : etc. etc

spm 5 : 8

spm 6 : 6

spm 7 : 4

spm 8 : 3

spm 9 : 2

spm 10: 2

spm 11: 2

spm 12: 1

spm 13: 1

spm 14: 1

spm 15: 1

Med en slik fordeling ville deltakeren vunnet 2 430 407 kr

Til slutt : jeg at at om kan programmering så kan man bruke "brute force" metoden og la datamaskinen tygge seg frem til beste svar. Men hadde vært kult å se et bevis for maks gevinst.

Aleks855 · 10. juni 2013

$chart?cht=tx&chl=M=\lim_{x\to\infty} x$

$chart?cht=tx&chl=M=\infty$

Man kan vel si så …

Men nå har du jo sørga for at M er en grenseverdi, så det jeg sa holder fortsatt!

EDIT: Ser at jeg kanskje burde utdypt litt mer, men så lenge man skjønner forskjellen på en verdi og en grenseverdi, så tror jeg jobben er gjort.

Endret 10. juni 2013 av Aleks855

''' · 10. juni 2013

Poenget er vel at du ikke kan bruke uendelig som et input (x=uendelig) eller en verdi (y=uendelig) i en funksjon, fordi det ikke kan finnes noen punkter med koordinat (uendelig, f(uendelig)) eller (x, uendelig).

Så lenge man holder seg til reelle tall

Endret 10. juni 2013 av Grønnsyre

10. juni 2013

Man kan føye +/- uendelig til den reelle tallingjen og få den utvidede tallinjen.

Kilde:

http://mathworld.wol...tification.html

http://mathworld.wol...ealNumbers.html

Se også

How large is infinite?

Se mer presist denne

http://www.webproworld.com/webmaster-forum/threads/66468-How-large-is-infinite/page5?p=364875&viewfull=1#post364875

posten.

Endret 10. juni 2013 av Slettet+9871234

kloffsk · 10. juni 2013

Men nå har du jo sørga for at M er en grenseverdi, så det jeg sa holder fortsatt!

EDIT: Ser at jeg kanskje burde utdypt litt mer, men så lenge man skjønner forskjellen på en verdi og en grenseverdi, så tror jeg jobben er gjort.

Vel, $chart?cht=tx&chl=\infty$ er kun notasjon for at følgen divergerer til uendelig. Det å regne med $chart?cht=tx&chl=\infty$ gir således ingen mening selv om det av praktiske grunner noen ganger gjøres med hermetegn i kalkulusbøker, e.g. Adams (om jeg ikke husker feil).

Endret 10. juni 2013 av kloffsk

Aleks855 · 11. juni 2013

Vel, $chart?cht=tx&chl=\infty$ er kun notasjon for at følgen divergerer til uendelig. Det å regne med $chart?cht=tx&chl=\infty$ gir således ingen mening selv om det av praktiske grunner noen ganger gjøres med hermetegn i kalkulusbøker, e.g. Adams (om jeg ikke husker feil).

Og det er jo derfor jeg sier at vi ikke regner uendelig for å være en verdi, men en grenseverdi.

Du gjør det uklart hvorvidt du ytrer enighet eller uenighet.

Jaffe · 11. juni 2013

Og det er jo derfor jeg sier at vi ikke regner uendelig for å være en verdi, men en grenseverdi.

Det er ikke riktig. Grenseverdier er reelle tall, så $chart?cht=tx&chl=\infty$ er ikke en grenseverdi.

Skrivemåten $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ betyr (løst sagt) at vi kan få en så stor funksjonsverdi vi vil ved å la x nærme seg a. Mer presist: For en hver reell $chart?cht=tx&chl=\epsilon > 0$ finnes et reelt tall $chart?cht=tx&chl=\delta > 0$ slik at $chart?cht=tx&chl=|x - a| < \delta \ \Rightarrow \ f(x) > \epsilon$ . Når dette er tilfellet eksisterer det ingen grenseverdi, selv om vi altså skriver $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ .

Skrivemåten må ikke forveksles med $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = L$ , der L er et reelt tall, for den skrivemåten betyr noe annet, nemlig at vi kan få $f(x)$ så nærme tallet L vi vil ved å la x nærme eg a. Mer presist at for et hvert reelt tall $chart?cht=tx&chl=\epsilon > 0$ finnes et reelt tall $chart?cht=tx&chl=\delta > 0$ slik at $chart?cht=tx&chl=|x - a| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon$ . Når det er tilfelle, sier vi at grenseverdien eksisterer og er lik L.

11. juni 2013

Vel, $chart?cht=tx&chl=\infty$ er kun notasjon for at følgen divergerer til uendelig. Det å regne med $chart?cht=tx&chl=\infty$ gir således ingen mening selv om det av praktiske grunner noen ganger gjøres med hermetegn i kalkulusbøker, e.g. Adams (om jeg ikke husker feil).

Den utvidede reelle tallinjen leste jeg om første gang da jeg tok et hovedfagsemne i mattematikk. Læreboken var denne:

http://www.amazon.co.../dp/013143747X/

Muligens blir det undervist om R U [+ / - uendelig] hvor R er den vanlige reelle tallinjen i lavere kurs i mattematikk.

Det slurves enormt mye med dette begrepet. Det ble sagt at Abel ryddet mye opp i matematiske antagelser, spesielt når det gjaldt rekker.

Fra økonomi vet vi at en evigvarende obligasjon har endelig verdi. Grunnen er at obligasjonens nåverdi kan utledes av formelen for en konvergent geometrisk rekke.

Endret 11. juni 2013 av Slettet+9871234

kloffsk · 11. juni 2013

Ja, det finnes helt klart situasjoner (utvidede reelle tallinjen, ettpunktskompaktifisering ...) der $chart?cht=tx&chl=\infty$ er et faktisk element, men det er ikke tilfellet her.

wingeer · 12. juni 2013

Jeg vil kalle $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ er godt innenfor "abuse of notation". Et mye bedre alternativ, som skrevet før, er $chart?cht=tx&chl=f(x) \to \infty$ når $chart?cht=tx&chl=x \to a$ .

Frexxia · 12. juni 2013

Jeg vil kalle $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ er godt innenfor "abuse of notation". Et mye bedre alternativ, som skrevet før, er $chart?cht=tx&chl=f(x) \to \infty$ når $chart?cht=tx&chl=x \to a$ .

Det er vel ikke noe problem med $chart?cht=tx&chl=\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ så lenge en bare ser på $chart?cht=tx&chl=\overline{\mathbb{R}}$ som et topologisk rom? Omegnene til $chart?cht=tx&chl=\infty$ er nettopp de som inneholder mengder på formen $chart?cht=tx&chl=\{x>M\}$ for $chart?cht=tx&chl=M < \infty$ .

Det finnes vel metrikker som induserer denne topologien også, selv om jeg ikke har sett de i bruk.

edit: Jeg er enig med at en bør være klar over at en ikke direkte kan bruke $chart?cht=tx&chl=\epsilon,\,\delta$ .

Endret 12. juni 2013 av Frexxia

12. juni 2013

Et annet tilfelle.

Et (Rieman) integral sees på som arealet under en kurve over et gitt definisjonsområde.

Følgende figur har alltid areal = 1.

En trekant:

Høyde = 2n

Grunnlinje = 1/n.

La n gå mot uendelig. I grensen kollapser trekanten til en Dirac puls som er så uendelig at den har hele sin masse i origo. Selv om

lim grunnlinje = 0 (???) så er arealet alltid lik 1.

Men er det riktig å si at lim grunnlinje = 0? Arealet av en trekant med grunnlinje 0 er jo lik 0. Er det ikke riktigere å si at grunnlinjen går mot 0 når n vokser over alle grenser (går mot uendelg)?

Dirac pulsen har hele sin masse i origo.

Frexxia · 12. juni 2013

Et annet tilfelle.

Et (Rieman) integral sees på som arealet under en kurve over et gitt definisjonsområde.

Følgende figur har alltid areal = 1.

En trekant:

Høyde = 2n

Grunnlinje = 1/n.

La n gå mot uendelig. I grensen kollapser trekanten til en Dirac puls som er så uendelig at den har hele sin masse i origo. Selv om

lim grunnlinje = 0 (???) så er arealet alltid lik 1.

Men er det riktig å si at lim grunnlinje = 0? Arealet av en trekant med grunnlinje 0 er jo lik 0. Er det ikke riktigere å si at grunnlinjen går mot 0 når n vokser over alle grenser (går mot uendelg)?

Dirac pulsen har hele sin masse i origo.

Det er riktig å si at lengden av grunnlinjen går mot 0, men det er tre problemer her såvidt jeg kan se: Det ene er at grenser og integraler ikke nødvendigvis kommuterer. Det andre er at du ikke kan bruke Riemann-integralet til å integrere en funksjon som ikke er begrenset, slik at man må over på Lebesgue-integralet. Det tredje problemet ditt ligger i at Dirac delta ikke er en funksjon på $chart?cht=tx&chl=\mathbb{R}$ i vanlig forstand.

Definer $chart?cht=tx&chl=f_n:\,\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ for $chart?cht=tx&chl=n \in \mathbb{N}$ til å være "trekantene" dine med senter i origo. Det er lett å se at $chart?cht=tx&chl=f_n \to f$ punktvis, der $chart?cht=tx&chl=f:\,\mathbb{R} \to \overline{\mathbb{R}}$ er definert ved (nei, dette er ikke Dirac delta!)

$chart?cht=tx&chl=f(x) = \begin{cases}\infty & x=0 \\ 0 & x\neq 0\end{cases}$

Nå har du (ja, det siste integralet er 0! Dette fordi $chart?cht=tx&chl=\mu(\{0\})$ =0, se Lebesgue-mål)

p><p>

Hvorfor kunne vi ikke konkludere at $chart?cht=tx&chl=\lim_n \int_{\mathbb{R}} f_n d\mu = \int_{\mathbb{R}} \lim_n f_n d\mu$ ? Svaret ligger i at følgen $(f_n)$ ikke oppfølger kravene til dominert konvergens-teoremet (dette gir dog bare tilstrekkelige og ikke nødvendige krav).

Hvordan kan vi ordne opp i alt dette og finne Dirac deltaen vår? Vi innfører såkalte distribusjoner. Det finnes flere versjoner av disse, men den mest brukte er at de er lineære og kontinuerlige (dette har en meget spesifikk og noe teknisk betydning som du kan finne på den forrige linken) funksjonaler, og det neste er det viktigste punktet, på $chart?cht=tx&chl=C_0^\infty(\mathbb{R})$ (ikke $chart?cht=tx&chl=\mathbb{R}$ ).

Det er to typer distribusjoner vi trenger her:

$chart?cht=tx&chl=T_{g}:\,C_0^\infty(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ , definert ved $chart?cht=tx&chl=T_{g}(\varphi) = \int_{\mathbb{R}}g\varphi d\mu$ (Disse kalles regulære distribusjoner, og her må $chart?cht=tx&chl= g \in L^1_{\text{loc}}$ )

$chart?cht=tx&chl=\delta:\,C_0^\infty(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ , definert ved $chart?cht=tx&chl=\delta(\varphi) = \varphi(0)$ (Dirac delta)

En av grunnene til at det vi prøvde først feilet er at Dirac delta ikke er en regulær distribusjon.

Men, det er ikke så veldig vanskelig å vise at $chart?cht=tx&chl=T_{f_n}\to\delta$ i distribusjonsforstand, altså at $chart?cht=tx&chl=T_{f_n}(\varphi) \to \delta(\varphi)$ for alle $chart?cht=tx&chl=\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ .

Beklager at posten ble så lang og teknisk. Dette er ikke så enkelt, og det er vel derfor mange som ikke driver med matematikk ikke bryr seg om disse problemene.

herzeleid · 12. juni 2013

Kjapt spørsmål jeg har stusset på en stund:

Finnes det en enkel måte å se om en nxn matrise er diagonaliserbar, uten å finne egenverdiene, og eventuelt egenvektorer?

Om noen skulle lure senere var svaret på dette nei.

Teoremet sier at en nxn matrise med n egenverdier er diagonaliserbar. Videre kan en nxn matrise med mindre enn n egenverdier være diagonaliserbar, forutsatt at en eller flere verdier har tilstrekkelig høy multiplisitet og at de tilhørende egenvektorene er lineært uavhengige.

12. juni 2013

Beklager at posten ble så lang og teknisk. Dette er ikke så enkelt, og det er vel derfor mange som ikke driver med matematikk ikke bryr seg om disse problemene.

Glimrende svar. :thumbup:

Definer $chart?cht=tx&chl=f_n:\,\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ for $chart?cht=tx&chl=n \in \mathbb{N}$ til å være "trekantene" dine med senter i origo.

Ja og den funksjonen har jo kompletteringen av (den utvidede) tallinjen som definisjonsområde.

Lightblue · 12. juni 2013

Hvordan regner man ut volum av en pyramide med lengde og bredde 81 cm og høyde 76 cm?

Blir det slik:

81cm*81cm*76cm/3 ?

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+9871234

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+9871234

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+9871234

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+9871234

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer