Den enorme matteassistansetråden

Aleks855 · 29. mai 2013

Fordi prosent bokstavelig talt betyr "per hundre". Prosentsymbolet er bare en annen måte å skrive $chart?cht=tx&chl=\frac{1}{100}$ på.

Derfor dersom du har et tall, f.eks 0.96, er

Jeg har lettere for å se det på denne måten, der vi anerkjenner at 100% tilsvarer 1 på desimalform.

$chart?cht=tx&chl=0.96 = 0.96 \cdot 1 = 0.96 \cdot 100% = 96%$

Endret 29. mai 2013 av Aleks855

Synchroz · 29. mai 2013

Hvordan løser jeg sluttleddet på en likning som dette x^3=64

Vet at hvis det er opphøyd i 2. fks. x^2, tar man kvadratrota av den, men hva gjør man dersom den er opphøyd i tredje (x^3)?

Svaret skal bli 4.

Takk

Endret 29. mai 2013 av Nicida

Selvin · 29. mai 2013

Da tar man kubikkrot/tredjerot. Akkurat det samme, bare hva må man opphøye i 3 for å få 64?

Aleks855 · 29. mai 2013

Hvordan løser jeg sluttleddet på en likning som dette x^3=64

Vet at hvis det er opphøyd i 2. fks. x^2, tar man kvadratrota av den, men hva gjør man dersom den er opphøyd i tredje (x^3)?

Svaret skal bli 4.

Takk

$chart?cht=tx&chl=x = \sqrt[3]{64} = 4$

V_B · 29. mai 2013

Hei,

Jeg holder på å repetere litt på rekker og har et spørsmål angående sammenligningstesten som jeg lurer på om noen kunne gitt meg litt hjelp med. Har følgende rekke;

$chart?cht=tx&chl=\sum_{i=1}^n \frac{n^2+10n+1}{n^3+n}$

Sammenligner så med en divergent rekke

$chart?cht=tx&chl= \frac{1}{n}$

og ender opp med

$chart?cht=tx&chl= \frac{1+\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2 }}{1+\frac{1}{n^2}}$

som blir 1 når n går til uendelig.

Men så kommer tolkingen av svaret. Er det blir at jeg kan si at rekken divergerer fordi jeg får grenseverdien 1, altså at grenseverdien ikke er 0. Og hvis jeg hadde brukt en konvergent rekke, kunne jeg sagt at den konvergerer så lenge grenseverdien ikke var uendelig?

På forhånd takk

Janhaa · 29. mai 2013

du får vel

$\sum_1^{\infty} (1/n)$

som sammenlignes med 1/n som divergerer

titt litt på brøken din når du har delt på n^3

Endret 29. mai 2013 av Janhaa

V_B · 29. mai 2013

Ja, så det er ikke værre enn at jeg bare kan dele alle ledd på $n^2$ ?

Blinkset litt på navnet og mente grensesammenlingsningstesten;

$chart?cht=tx&chl=\frac{a_n}{b_n}$

$chart?cht=tx&chl=a_n =\frac{n^2+10n+1}{n^3+n}$

$chart?cht=tx&chl=b_n = \frac{1}{n}$

$chart?cht=tx&chl=\frac{a_n}{b_n} = 1$

Kan man da si at siden $b_n$ er en divergent rekke og $chart?cht=tx&chl=\frac{a_n}{b_n}$ ikke er 0, så divergerer rekken?

Gitt så at $b_n$ hadde vært en konvergent rekke og $chart?cht=tx&chl=\frac{a_n}{b_n}$ ikke er uendelig, så konvergerer rekken?

TastyFroyo · 29. mai 2013

Hei!

Jeg lurer på hvordan man kan bevise at $x^n$ derivert blir $chart?cht=tx&chl= n \cdot x^{n-1}$

D02 · 29. mai 2013

Hei!

Jeg lurer på hvordan man kan bevise at $x^n$ derivert blir $chart?cht=tx&chl= n \cdot x^{n-1}$

Er vel induksjonsbevis du skal bruke her (?)

1) Vis at n stemmer for n=t, så prøver du å vise at det stemmer for n=(t+1)

2) Viser at utrykket stemmer for n=1

i korte trekk

Jaffe · 29. mai 2013

Det enkleste er nok induksjon og produktregelen. Alternativt kan det gjøres direkte, altså ved å regne ut $chart?cht=tx&chl=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$ . Da får du bruk for binomialteoremet for å gange ut det første leddet i telleren.

Frexxia · 29. mai 2013

Hei!

Jeg lurer på hvordan man kan bevise at $x^n$ derivert blir $chart?cht=tx&chl= n \cdot x^{n-1}$

Du kan også bruke at

$chart?cht=tx&chl=(x+h)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k h^{n-k}$

TastyFroyo · 29. mai 2013

Så ikke noe man kan gjøre når man bare har 1t altså?

Jaffe · 30. mai 2013

Jo, du kan egentlig det -- eller hvertfall nesten. Binomialteoremet er den formelen Frexxia postet. Den skrivemåten han brukte der, med tegnet $chart?cht=tx&chl=\sum_{k = 0}^n$ , er en kort måte for å si at

$chart?cht=tx&chl=(x+h)^n = {n \choose 0}x^0 h^{n-0} + {n \choose 1} x^1 h^{n-1} + {n \choose 2} x^2 h^{n-2} + ... + {n \choose n-1} x^{n-1} h^{n-(n-1)} + {n \choose n} x^n h^{n - n}$

(De tre prikkene, ..., betyr at samme mønster fortsetter.)

Her er $chart?cht=tx&chl={n \choose k}$ binomialkoeffisienten, som du skal ha lært om i sannsynlighetsdelen av 1T.

Denne formelen er en videreføring av det du antageligvis kjenner som første kvadratsetning: $(x h)^2 = x^2 2xh h^2$ . For n = 2 får vi jo nettopp at

$chart?cht=tx&chl=(x+h)^2 = {2 \choose 0} x^2 h^0 + {2 \choose 1} x^1h^1 + {2 \choose 2} x^0 h^2 = 1 \cdot x^2 \cdot 1 + 2 \cdot x \cdot h + 1 \cdot 1 \cdot h^2 = x^2 + 2xh + h^2$ .

Binomialformelen gjør det altså lett for oss å gange ut slike parenteser der eksponenten er større enn 2.

For å bevise at $chart?cht=tx&chl=(x^2)^\prime = 2x$ så gjør vi, som du kanskje har sett, slik:

$p><p>&= \lim_{h \to 0} 2x + h = 2x\end{aligned}$

Her ganger vi altså ut parentesen, $x^2$ forsvinner mot $x^2$ , og vi deler bort ("stryker") den felles faktoren h i teller og nevner. Det gjør at vi står igjen med en grenseverdi vi klarer å finne.

Ideen i beviset for $chart?cht=tx&chl=(x^n)^\prime = nx^{n-1}$ er akkurat den samme. Den eneste forskjellen er at vi bruker binomialformelen i stedet for kvadratsetningen for å gange ut parentesen. For å utføre beviset er det to ting om binomialkoeffisientene vi må vite. Det er at $chart?cht=tx&chl={n \choose 0}$ alltid er 1, og at $chart?cht=tx&chl={n \choose 1}$ alltid er n. Da får vi:

$p><p>&= \lim_{h \to 0} \frac{{n \choose 0} x^n + {n \choose 1} x^{n-1} h + {n \choose 2} x^{n-2} h^2 + ... + {n \choose n - 1} x h^{n-1} + {n \choose n} h^n - x^n}{h}\end{aligned}$

Så langt har vi bare ganget ut parentesen med binomialformelen. Bruker vi de to egenskapene ved binomialkoeffisienten, får vi videre

$chart?cht=tx&chl== \lim_{h \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}h + {n \choose 2} x^{n-2}h^2 + ... + {n \choose n} h^n - x^n}{h}$

Først og fremt ser vi da at første ledd er $x^n$ og det siste er $-x^n$ . Summen av dem blir da 0, og vi kan ta dem bort, akkurat som vi gjorde da vi fant $chart?cht=tx&chl=(x^2)^\prime$ . I de resterende leddene vil h være en felles faktor, som vi kan faktorisere ut. Vi ender da opp med

$chart?cht=tx&chl=\lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(nx^{n-1} + {n \choose 2}x^{n-2}h + {n \choose 3} x^{n-3}h^2 + ... + {n \choose n} h^{n-1})}{\cancel{h}}$ .

Deler vi h i telleren på h i nevneren står vi da igjen med

$chart?cht=tx&chl=\lim_{h \to 0} \left(nx^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2}h + {n \choose 3} x^{n-3} h^2 + ... + {n \choose n} h^{n-1}\right)$ .

Siden alle ledd utenom det første inneholder faktoren h, vil disse gå mot 0 når $chart?cht=tx&chl=h \to 0$ . Det betyr at kun det første leddet, $chart?cht=tx&chl=nx^{n-1}$ står igjen. Da har vi altså fått at $chart?cht=tx&chl=(x^n)^\prime = nx^{n-1}$ , og vi er ferdige.

Frexxia · 30. mai 2013

Et induksjonsbevis:

1. Det holder for $n=1$ siden $x' = 1$ (Vis med definisjonen, det gir en triviell grense).

2. Dersom det holder for $n-1$ har du $chart?cht=tx&chl=(x^n)' = (x\cdot x^{n-1})' = x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = nx^{n-1}$ , så det holder for $n$ også. (Produktregelen)

Det er instruktivt å kjenne begge metodene.

Endret 30. mai 2013 av Frexxia

TastyFroyo · 30. mai 2013

*snip*

Tusen takk for langt og grundig svar!

Jeg ble en god del klokere av dette, men begynte å lure på hvordan man kan bevise at binomialteoremet stemmer. Er det langt ovenfor mitt nivå?

Endret 30. mai 2013 av TastyFroyo

Jaffe · 30. mai 2013

Nei, det er egentlig ikke det. Hovedideen bak formelen er å telle hvor mange ganger man får samme ledd ut når man ganger ut $(a b)^n$ . Det viser seg å være gitt ved $chart?cht=tx&chl={n \choose k}$ . Det kan vises på mange måter. Du kan jo se her for forskjellige forklaringer og bevis.

TastyFroyo · 30. mai 2013

Skal ta meg en titt på det når jeg har litt bedre tid.

I hvilken matte inngår dette i pensum?

wingeer · 30. mai 2013

Skal ta meg en titt på det når jeg har litt bedre tid.

I hvilken matte inngår dette i pensum?

Bevis av binomialteoremet? Typisk innførende kurs på universitetet vil jeg tro.

Frexxia · 30. mai 2013

Koeffisienten foran $chart?cht=tx&chl=x^k y^{n-k}$ i $(x y)^n$ er nettopp antall ganger du får ut $chart?cht=tx&chl=x^k y^{n-k}$ når du multipliserer ut de n parentesene. Å få ut $chart?cht=tx&chl=x^k y^{n-k}$ betyr at du velger x fra k parenteser (og y fra n-k parenteser). Men det er nøyaktig $chart?cht=tx&chl=n \choose k$ (n velg k) måter å velge de k parentesene på fra n mulige (siden rekkefølgen ikke er viktig her). Dette har du kanskje hørt om i sannsynlighetsregning.

Dermed er $chart?cht=tx&chl=(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k}$

Det går selvsagt an å gjøre det mer rigorøst, men det er ihvertfall den intuitive forklaringen. For å svare på spørsmålet ditt så tror jeg kanskje man ser den i løpet av vgs, og ihvertfall i første matematikkurs på et universitet/høyskole.

edit: Det er ikke noe dypt teorem på noen måte, det er essensielt bare å telle opp hvor mange ganger du får hvert ledd.

Endret 30. mai 2013 av Frexxia

Jaffe · 30. mai 2013

Skal ta meg en titt på det når jeg har litt bedre tid.

I hvilken matte inngår dette i pensum?

Jeg vet at noen har hatt om binomialformelen i undervisningen på VGS, men det er i såfall på lærerens initiativ. Det er ikke med i pensum i noen av fagene såvidt jeg vet. Det kommer mest sannsynlig av prioriteringer, ikke at stoffet er for vanskelig, for det er det ikke. På høgskole/universitet møter man som regel kjapt binomialformelen. Den er veldig nyttig å kunne.

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Populær nå

Hvem er aktive 0 medlemmer