Den enorme matteassistansetråden

D3f4u17 · 25. januar 2013

Haha. NØYE!

Det vedkommende lurer på følger for øvrig fra definisjonen av et vektorrom, men det skulle da være mulig å få en viss forståelse utifra hva du skriver også

Nå hadde jeg lite vektorregning på VGS, men jeg trodde at man der definerte en vektor som en sekvens med tall der multiplikasjon med en skalar og addisjon mellom to vektorer er definert slik jeg gjorde i innlegget. Jeg tok utgangspunkt i det, og brukte ellers kun egenskaper ved de reelle tallene. Derfor ser innlegget ut som det gjør.

wingeer · 25. januar 2013

Man definerer gjerne en vektor som en n-tuppel over en kropp (f.eks. reelle tall). n kan også i enkelte tilfeller være uendelig, og det er i de tilfellene vi snakker om et uendeligdimensjonalt vektorrom.

Et vektorrom kan beskrives som en abelsk gruppe av vektorer V, en skalarkropp K og en operasjon som knytter disse sammen.

En (abelsk) gruppe er da en mengde V med en operasjon $chart?cht=tx&chl=\times$ (f.eks. + eller multiplikasjon) s.a.:

for alle $chart?cht=tx&chl=x,y,z \in V$

1. Lukket: $chart?cht=tx&chl=x \times y \in V$

2. Identitet: Det finnes et element e for alle x slik at $chart?cht=tx&chl=x \times e = e \times x = x$

3. Invers: Det finnes et element $chart?cht=tx&chl=x^{-1}$ for alle x slik at: $chart?cht=tx&chl=x \times x^{-1} = x^{-1} \times x = e$

4. Assosiativ: $chart?cht=tx&chl=x \times (y \times z ) = (x \times y) \times z$

(5. Kommutativ: $chart?cht=tx&chl=x \times y = y \times x$ , dette er hva som gjør den abelsk)

For vektorer i planet, rommet, e.l. har vi operasjonen + (addisjon) og da betyr dette f.eks. at det skal finnes en nullvektor, at det for enhver vektor skal finnes en vektor som "nuller" den ut og at det ikke spiller noen rolle i hvilken rekkefølge du legger sammen vektorer.

Dette er jo flott. Nå kan vi legge sammen vektorer, men vi har fortsatt ingen fortolkning av hva det vil si å gange en vektor med et tall. Det er her skalarene kommer inn. Vi sier at vi lager et vektorrom ved å ta denne gruppen med vektorer og kombinere den over en kropp. Men hva er en kropp? En kropp er ikke så langt unna en gruppe. Vi tar fortsatt en mengde K, men nå har vi to operasjoner (ofte kalt addisjon og multiplikasjon, denotert + og $chart?cht=tx&chl=\cdot$ ) slik at dersom vi ser på K med bare addisjon er dette en abelsk gruppe, og K med bare multiplikasjon er en abelsk gruppe. I tillegg forlanger vi at multiplikasjon skal være distributiv over addisjon:

$chart?cht=tx&chl=a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ for alle a,b,c i K.

Når man ser for seg en kropp kan man f.eks. tenke på de reelle tall og egenskapene til disse. F.eks. er $ab=ba$ og for alle reelle a (ulik 0) har vi $a1=1a=a$ og at det finnes 1/a slik at $chart?cht=tx&chl=a \frac{1}{a} = 1$ .

Så nå vet vi hva en abelsk gruppe er, og hva en kropp er. Nå må vi bare vite hvordan vi skal kombinere disse og der kommer operasjonen inn:

Vi har en operasjon $chart?cht=tx&chl=V \times K \to V$ (som betyr at vi tar en skalar og en vektor og får en ny vektor) som tilfredsstiller for alle $chart?cht=tx&chl=x,y, \in V$ og alle $chart?cht=tx&chl=\alpha,\beta \in K$ :

1. $chart?cht=tx&chl=\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$

2. $chart?cht=tx&chl=( \alpha + \beta )x= \alpha x + \beta x$

3. $chart?cht=tx&chl=( \alpha \beta)x= \alpha ( \beta x)$

4. $1x=x$

Er man oppmerksom ser man at definisjonen over kun er beskrevet fra venstre side, men dette er ikke noe problem ettersom K er en kropp og derfor kommutativ. Dette er nokså generelt og ganske nøye.

D3f4u17:

Det du har gjort i innlegget ditt er å definere addisjon for vektorer over R, samt operasjonen over og vist at disse tilfredsstiller enkelte av egenskapene vi ønsker å ha. Som du ser er det ganske omstendig arbeid å vise at noe er et vektorrom ... Og derfor nesten alltid mye lettere å bare henvise til at det har blitt bevist før og derfor peke på egenskapene som vi da vet er oppfylt. Ingen kritikk! Du har god forståelse dersom du kun har hatt vgs-matematikk.

Endret 25. januar 2013 av wingeer

D3f4u17 · 25. januar 2013

Jeg misforstod deg nok noe i innlegget, så jeg svarte som om det stod noe litt annet. Min feil. (Som du tydeligvis forstod er erfaringen jeg har med vektorrom minimal; det får virke som unnskyldning.)

D3f4u17:

Det du har gjort i innlegget ditt er å definere addisjon for vektorer over R, samt operasjonen over og vist at disse tilfredsstiller enkelte av egenskapene vi ønsker å ha.

Nettopp det var hensikten.

Gjakmarrja · 26. januar 2013

Jeg lurer litt på en logikk oppgave i R1.

La $x$ være et rasjonelt tall og $y$ et irrasjonelt tall. Gi et indirekte bevis for at $chart?cht=tx&chl=\frac{x}{y}$ er et irrasjonalt tall.

Min tolkning av "indirekte bevis" er kontrapositivt bevis. Men kan ikke det bety bevis ved selvmotsigelse også? For på den kontrapositive setningen kan man vel kjøre et vanlig direkte bevis eller et bevis ved selvmotsigelse (ad absurdum)?

Eller muligens bevis ved selvmotsigelse direkte på den opprinnelige setningen. Det som er lettest.

Er dette riktig?

Benjamin · 26. januar 2013

Jeg lurer litt på en logikk oppgave i R1.

La $x$ være et rasjonelt tall og $y$ et irrasjonelt tall. Gi et indirekte bevis for at $chart?cht=tx&chl=\frac{x}{y}$ er et irrasjonalt tall.

Min tolkning av "indirekte bevis" er kontrapositivt bevis. Men kan ikke det bety bevis ved selvmotsigelse også? For på den kontrapositive setningen kan man vel kjøre et vanlig direkte bevis eller et bevis ved selvmotsigelse (ad absurdum)?

Eller muligens bevis ved selvmotsigelse direkte på den opprinnelige setningen. Det som er lettest.

Er dette riktig?

Litt usikker på om det er en god løsning, men prøver:

Dersom x/y skal bli et rasjonalt tall, så må det finnes en rasjonal faktor k slik at x = ky, siden det gir løsningen ky/y = k. Da forutsettes det at man får et irrasjonalt tall når man multipliserer et rasjonalt med et irrasjonalt tall. Rent intuitivt så virker det riktig, men klarer ikke bevise lenger enn det...

Error · 26. januar 2013

Om complex numbers (komplekse tall?)

Solve for x:

x⁴ - 1 = 0

Jeg gjør følgende:

x⁴ = 1

x = Fjerderoten av 1

x = 1

Men, fasiten sier at svaret er

x = ±1 eller ±i

Hvorfor det? Hvorfor er mitt svar feil?

wingeer · 26. januar 2013

Om complex numbers (komplekse tall?)

Solve for x:

x⁴ - 1 = 0

Jeg gjør følgende:

x⁴ = 1

x = Fjerderoten av 1

x = 1

Men, fasiten sier at svaret er

x = ±1 eller ±i

Hvorfor det? Hvorfor er mitt svar feil?

Dette er komplekse tall. Du jobber ikke lenger på en tallinje, men i et plan. Jeg vet ikke hvor nøye du har hatt dette, men kjenner du til at man kan skrive komplekse (og reelle) tall på formen:

$chart?cht=tx&chl=z=re^{i \theta}$ , hvor r er modulusen og theta er vinkelen fra positiv x-akse til punktet i det komplekse planet?

Det er nok også bare slurv fra din side, men du vil også få løsningen -1 fra $x^4=1$ .

Endret 26. januar 2013 av wingeer

Aleks855 · 26. januar 2013

Om complex numbers (komplekse tall?)

Solve for x:

x⁴ - 1 = 0

Jeg gjør følgende:

x⁴ = 1

x = Fjerderoten av 1

x = 1

Men, fasiten sier at svaret er

x = ±1 eller ±i

Hvorfor det? Hvorfor er mitt svar feil?

Når du tar en kvadratrot, fjerderot, eller en annen partallsrot, MÅ du huske følgende.

$(-1)^2 = 1^2 = 1$

$(-1)^4 = 1^4 = 1$

Altså, $x^4 = 1$

Vi tar fjerderoten på begge sider:

$chart?cht=tx&chl=x = \pm \sqrt[4]1 = \pm 1$

Error · 26. januar 2013

EDIT: @Wingeer

"Euler form" kaller vi det, men driver med revisjon og var aldri helt stø på komplekse tall i første omgang. Forstår forstatt ikke hvor ±i kommer fra..? Er ikke så dyktig når det kommer til to og tre dimensjoner, blir veldig kludret til, ofte.

Og ja, mente ±1, ikke 1.

Endret 26. januar 2013 av Error

Torbjørn T. · 26. januar 2013

$chart?cht=tx&chl=x = \pm \sqrt[4]1 = \pm 1$

Kan vel og utvide det litt, ved å ta rota to gonger, og slik få fram dei imaginære løysingane og.

$p><p>x^2 = \pm 1$

Her får ein to løysingspar:

$p><p>x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i$

wingeer · 26. januar 2013

EDIT: @Wingeer

"Euler form" kaller vi det, men driver med revisjon og var aldri helt stø på komplekse tall i første omgang. Forstår forstatt ikke hvor ±i kommer fra..? Er ikke så dyktig når det kommer til to og tre dimensjoner, blir veldig kludret til, ofte.

Og ja, mente ±1, ikke 1.

Euler form, ja.

Denne formen gjør slike ligninger ganske håndterbare. Med andre ord, denne løsningsmetoden er hakket mer generelt. I dette tilfellet er nok det letteste å bare "se" løsningen.

Vi legger merke til at vi har to reelle løsninger. Disse har du allerede funnet. Men er dette alle løsningene? Det viser seg at det ikke er det (hvorfor ikke?). Vi mistenker derfor komplekse løsninger så vi kan faktorisere ut de løsningene vi kjenner (jfr. Torbjørns svar), så vi setter igjen med:

$x^2=-1$ . (siden vi allerede har løst den når vi har +1).

Det vi gjør da er at vi skriver om x og -1 til Euler form:

$chart?cht=tx&chl=x=re^{i \theta}$ og $chart?cht=tx&chl=-1=1 e^{i \pi}$ .

Vi har da:

$chart?cht=tx&chl=x^2 = r^2 e^{i 2 \theta} = 1 e^{i \pi} \Leftrightarrow r^2=1 \wedge 2 \theta = \pi + 2 \pi n$ der $n=0,1$ ,

så: $r=1$ siden r skal være positiv og $chart?cht=tx&chl=\theta = \frac{\pi + 2 \pi n}{2}$

så: $chart?cht=tx&chl=x=exp(i \frac{\pi + 2 \pi n}{2})$ , så de to røttene er:

$x_1 = e^{\pi / 2}, x_2=e^{3 \pi / 2}$ . Her kan du f.eks. bruke Eulers identitet, eller se på enhetssirkelen for å få frem hva dette tilsvarer.

Endret 26. januar 2013 av wingeer

wingeer · 26. januar 2013

Jeg lurer litt på en logikk oppgave i R1.

La $x$ være et rasjonelt tall og $y$ et irrasjonelt tall. Gi et indirekte bevis for at $chart?cht=tx&chl=\frac{x}{y}$ er et irrasjonalt tall.

Min tolkning av "indirekte bevis" er kontrapositivt bevis. Men kan ikke det bety bevis ved selvmotsigelse også? For på den kontrapositive setningen kan man vel kjøre et vanlig direkte bevis eller et bevis ved selvmotsigelse (ad absurdum)?

Eller muligens bevis ved selvmotsigelse direkte på den opprinnelige setningen. Det som er lettest.

Er dette riktig?

Indirekte kan f.eks. være kontrapositivt. Det kan også være RAA (reductio ad absurdum). Du kan fint omgjøre til kontrapositiv for så å kjøre RAA, eller bare bruke RAA med en gang (dette er nok det letteste). Det du har gjort er helt riktig. Det gjenstår derimot å vise at dersom $chart?cht=tx&chl=\frac{x}{y} \in \mathb{Q}$ så er x og y rasjonelle.

Det er bare små detaljer. Men slik som du gjør krever egentlig en kommentar om at dersom x/y er rasjonell og x er rasjonell (fra RAA), så må y være rasjonell => kontradiksjon.

Endret 26. januar 2013 av wingeer

Gjakmarrja · 27. januar 2013

Glem det!! Minus foran andregradsleddet ødela for meg!

Endret 27. januar 2013 av 5D6A15

27. januar 2013

Er denne riktig regnet?

$p><p>x^2+2\cdot x\cdot5+5^2-x^2+5^2=10x+50$

Husam · 27. januar 2013

Ja. Men det aller enkleste ville jo ha vært å utnytte at du har (x+5) i begge leddene og faktorisere uttrykket.

Abdulaziz · 27. januar 2013

går i vg1 og har matte 1T

spørsmålet mitt er:

Er det slik i disjunkte hendinger at det er kun to alternativer?

27. januar 2013

Ja. Men det aller enkleste ville jo ha vært å utnytte at du har (x+5) i begge leddene og faktorisere uttrykket.

Mulig, men det står i oppgaven at jeg må bruke kvadratsetningene og regne ut.

27. januar 2013

Hvorfor er denne feil?

$2(t 2)(t-2)-3(t-3)^2=2\cdot(t^2-4)-(3t-3)^2$

Svaret skal være $-t^2 18t-35$

Endret 27. januar 2013 av Slettet+56132

Zeph · 27. januar 2013

Hvorfor er denne feil?

$2(t 2)(t-2)-3(t-3)^2=2\cdot(t^2-4)-(3t-3)^2$

$3(t-3)^2$ er ikkje lik $(3t-3)^2$

27. januar 2013

Noen flere feil?

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+56132

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+56132

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+56132

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Gjest Slettet+56132

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer