Den enorme matteassistansetråden

wingeer · 30. september 2012

Ja, så mye vet jeg. Som sagt tok jeg x^a = 0 og fant at x = 0. Men hvordan løser man 1 - x^a = 0?

$x^a = 1$ har bare en reell løsning, nemlig x=1. Du kan f.eks. ta a-te roten på begge sider. Ligningen har derimot flere komplekse løsninger (nemlig a-1 komplekse løsninger), men dette er ikke relevant her.

€uropa · 30. september 2012

Ikke for å være vanskelig, men hvordan ser du at x=1 er den eneste løsningen?

wingeer · 30. september 2012

Hvis man holder tunga rett i munn er det ikke så rent ille å derivere heller. Åpenbart er:

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = ax^{a-1} - 2ax^{2a-1}$ , og

$chart?cht=tx&chl=f''(x) = a^2 x^{a-2} - (2a)(2a-1)x^{2a-2}$ . Litt mindre åpenbar er kanskje omskrivningen til:

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = ax^{a-1}(1-2x^a)$ , men dette skal dere få klare å rote dere frem til selv. Fra denne ser vi at:

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = 0 \Leftrightarrow ax^{a-1}=0 \vee 1-2x^a = 0 \Rightarrow x_1=0 \vee x_2 = \left(\frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{a}}$ .

Vi bemerker oss at x=0 er et nullpunkt (svar på hvorfor selv), og bruker annenderiverttesten på det andre punktet. Vi sitter da igjen med at:

$f''(x_2) = 2a(1-a)$ . Siden a er større enn 0 får vi at a=1 er et spesialtilfelle og må sjekkes for hånd. Annenderiverttesten gir oss derimot at funksjonsverdien vil avhenge av verdien for a. Dette kan du/dere pusle ut detaljene av selv.

Det er lett å se at x=1 ER en løsning. Mao. er $1^a = 1$ . Anta vi har en annen reell løsning $chart?cht=tx&chl=0<y \neq 1$ , da vil $y^a = 1 = 1^a$ , så vi har $y^a = 1^a$ . Siden disse er reelle tall og $y$ må $y=1$ . Dette er en kontradiksjon og derfor er det ingen andre løsninger som tilfredsstiller omstendighetene.

Eventuelt (NB, kjennskap til komplekse tall):

La $chart?cht=tx&chl=x = r e^{i \theta}$

$chart?cht=tx&chl=x^a=1 \Leftrightarrow (re^{i a \theta} = e^{2 \pi i} \Rightarrow r=1 \wedge a \theta = 2\pi k$ for en heltalls k, dette gir:

$chart?cht=tx&chl=\theta = \frac{2 \pi k}{a}$ , så:

$chart?cht=tx&chl=x=e^{i \frac{2 \pi k}{a}}$ , hvor $chart?cht=tx&chl=k=0,1, \cdots, a-1$ .

k=0 gir da: $chart?cht=tx&chl=x=e^{i \frac{2 \pi 0}{a}} = e^0 = 1$ . Alle andre verdier for k gir et komplekst tall, derfor er x=1 den eneste reelle løsningen.

Err. Dette er jo under antagelsen av at a er et heltall, så klart.

Endret 30. september 2012 av wingeer

whistle · 30. september 2012

Jeg skal finne de absolutte ekstremalverdiene av $chart?cht=tx&chl=f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ for alle $134676911181af05d24d406f16edf587.png$ . Jeg ser jo på grafen at funksjonen ikke har noen absolutt maksverdi, men minimalpunktet er jo tydelig i (0,0). Men hvordan kommer jeg fram til det ved regning?

Jeg har prøvd å derivere uttrykket, og sette den deriverte lik 0. Men svaret er naturligvis udefinert.

Jaffe · 30. september 2012

Det er nok å se at $f(0) = 0$ og at for $chart?cht=tx&chl=x \neq 0$ er $f(x)$ . Da er x = 0 per definisjon et minimumspunkt.

wingeer · 30. september 2012

Funksjonen er de facto ikke def. for negative tall dersom du skal ha en reell funksjon (en funksjon som gir deg reelle verdier). Altså:

$chart?cht=tx&chl=f: \mathb{R} \to \mathb{R}$ gitt ved $chart?cht=tx&chl=f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ er i realiteten:

$chart?cht=tx&chl=f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ gitt ved samme regel. Og siden funksjonen er stigende på verdimengden som er et låpent intervall (haha, clopen. Lukket og åpent) vil f(0) være den minste verdien funksjonen tar => x=0 er et globalt minimalpunkt.

whistle · 30. september 2012

Tusen takk!

Er helt lost her også, da...

(syykt dårlig bilde, men dere ser sikkert hovedpoenget)

Jeg skal finne lengden på x og y. Perimeteret av hele greia er 24 (det betyr vel omkretsen rundt hele?).

Omkretsen for rektangelet minus den ene kortsiden: x+x+y+y

Omkretsen for halvsirkelen: pi*x

Dvs: 2x+2y+pi*x=24, sant?

Og jeg har prøvd mye rart etter det, men jeg får ingenting til å bli riktig. Noen som kunne hjulpet meg litt her?

Endret 30. september 2012 av whistle

Torbjørn T. · 30. september 2012

Du må vel ha noko meir informasjon for å kunne løyse det, slik det står har du ei likning men to ukjende. Kva meir står i oppgåva?

whistle · 30. september 2012

Nope, det er kun det jeg vet. At perimeteret er 24. Også skal jeg finne maksimal-areal.

"A norman window is a rectangle with a semicircle on top. Suppose that the perimeter of a particular norman window is to be 24 ft. What should its dimensions (x and y) be in order to allow the maximum amound of light to enter through the window?"

Må jeg sette opp to ligninger, en for areal og en for omkrets, og løse den ene for x eller y, sette inn i den andre? + og deretter derivere ligningen jeg har satt inn i og sette lik null?

Jeg har nemlig prøvd det, men jeg fååår det ikke til å bli riktig..

Torbjørn T. · 30. september 2012

Ok, det du skreiv i førre innlegg var berre "finn x og y ut frå desse opplysningane", noko som er ei litt anna oppgåve enn "finn x og y slik at arealet til figuren vert størst mogeleg".

Kan dessverre ikkje hjelpe, hugser ikkje heilt framgangsmåten for slike problem. Det du vil er å finne maksimumsverdien for arealet, med den begrensinga på x og y som kjem frå uttrykket for omkrinsen. Du får vente til nokon andre svarer.

whistle · 30. september 2012

ja, innså det da du spurte om det, at jeg kanskje bør få med alle opplysningene....

men, jeg gjorde det samme som jeg allerede har gjort fem ganger en gang til, og da ble det riktig(!!). typisk meg, at jeg endelig får til ETTER jeg har spurt om hjelp.

jeIIy · 30. september 2012

S4 = {<a, a>, <a, b>, <b, a>, <b, b>, <c, c>}

Oppgaven sier "Hvilket element kan fjernes for at relasjonen skal bli anti-symmetrisk?"

først tenkte jeg at jeg kunne fjerne <a, b> så ikke <a, b> og <b, a> ble symmetriske,

men er ikke <a, a>, <b, b> og <c, c> symmetriske også?

wingeer · 30. september 2012

På wikipedia står det at:

"antisymmetric: for all distinct x and y in X, if xRy then not yRx."

Med andre ord kan du fjerne <a,b> eller <b,a>. Siden det kun er snakk om distinkte elementer. <a,a> er symmetrisk med <a,a>, ja. Dette er muligens også et definisjonsspørsmål. Hva står det i boken din?

jeIIy · 30. september 2012

På wikipedia står det at:

"antisymmetric: for all distinct x and y in X, if xRy then not yRx."

Med andre ord kan du fjerne <a,b> eller <b,a>. Siden det kun er snakk om distinkte elementer. <a,a> er symmetrisk med <a,a>, ja. Dette er muligens også et definisjonsspørsmål. Hva står det i boken din?

En binær relasjon R på mengden S er anti-symmetrisk (eng: anti-symmetric) hvis det for alle x, y

er slik at hvis <x,y> $chart?cht=tx&chl=\in$ R og <y, x> $chart?cht=tx&chl=\in$ R, så x = y.

wingeer · 30. september 2012

De definisjonene er jo ekvivalente. Mao. kan <a,a> o.l. være med i relasjonen, siden x=y=a. Du trenger altså kun å fjerne enten <a,b> eller <b,a>.

jeIIy · 30. september 2012

De definisjonene er jo ekvivalente. Mao. kan <a,a> o.l. være med i relasjonen, siden x=y=a. Du trenger altså kun å fjerne enten <a,b> eller <b,a>.

takk

Betenkt · 30. september 2012

Jeg skal vise at:

p><p>

Årsaken til bruken av k er at ln (a) ikke ville se riktig ut i integralet.

Dersom man løser de to integralene rett frem vil man ende opp med aln(a), men jeg ser at løsningsforslaget løser det ved substitusjon. Er det noen grunn til at jeg evt. ikke kan løse dette rett frem i dette tilfellet, f.eks. fordi jeg ikke bare skal løse det, men vise at det er slik? Hvorfor ikke? Eller er de to fremgangsmåtene likeverdige også her?

Endret 30. september 2012 av Webmaster Esso

wingeer · 30. september 2012

Slik jeg ser det er det helt revnende likegyldig hvordan du gjør det. Du viser at høyresiden er lik venstresiden uansett. Av ren interesse forstår jeg ikke helt hva du mener med "løser ved substitusjon". Kan du utdype?

Endret 30. september 2012 av wingeer

Betenkt · 30. september 2012

Det var jeg også mente. LF har "løst ved substitusjon", se her. Nederst side 4. Jeg forstår ikke hvorfor de har valgt å gjøre det slik, annet enn at tilhørende kapittel har med substitusjon å gjøre.

Jeg løste bare begge integralene på helt vanlig måte og ser at det tar blir aln(a).

Endret 30. september 2012 av Webmaster Esso

wingeer · 30. september 2012

Det var jeg også mente. LF har "løst ved substitusjon", se her. Nederst side 4. Jeg forstår ikke hvorfor de har valgt å gjøre det slik, annet enn at tilhørende kapittel har med substitusjon å gjøre.

Jeg løste bare begge integralene på helt vanlig måte og ser at det tar blir aln(a).

Sherbet lemon, eh?

Jeg synes dette var en rotete/dårlig/ikke-intuitiv måte å gjøre det på. Det er en alternativ metode, men man MÅ jo ikke gå rundt grøten. Jeg ville løst det rett frem. En kommer frem til det samme uansett, og det er mindre arbeid i dette tilfellet. Med mindre det faktisk står i oppgaven "løs ved substitusjon" må det gi full uttelling.

Endret 30. september 2012 av wingeer

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer