Den enorme matteassistansetråden

Torbjørn T. · 13. mai 2012

Den fyrste er vel ikkje so ille, men den andre var litt meir innfløkt ja. Var berre noko tilfeldig eg fann på, ikkje henta frå noko spesielt nivå.

Kan forklare ein mogeleg framgangsmåte for g(x):

$chart?cht=tx&chl=g(x) = (3x+x^3)^4e^{-2x\sin(x)}$

Fyrste steg er å sjå at dette er eit produkt av to kvotientar, $(3x x^3)^4$ og $chart?cht=tx&chl=e^{-2x\sin(x)}$ , so me kan bruke produktregelen, $(uv)' = u'v uv'$ , der $u= (3x x^3)^4$ og $chart?cht=tx&chl=v=e^{-2x\sin(x)}$ .

For å derivere $u$ er det enklaste å nytte kjerneregelen, $chart?cht=tx&chl=f'(w(x)) = f'(w)\cdot w'(x)$ . Her er $w = 3x x^3$ , so den deriverte av $u$ vert $chart?cht=tx&chl=4u^3\cdot u' = 4(3x+x^3)^3\cdot(3+x^2)$ .

For å derivere $v$ må du nytte kjerneregelen, og so produktregelen når du skal derivere kjerna:

$chart?cht=tx&chl=v'(x) = e^{-2x\sin(x)}\cdot (-2x\sin(x))' = e^{-2x\sin(x)}[-2\sin(x) - 2x\cos(x)]$ .

Set dette saman, og du får

p><p>

Håper eg ikkje gjorde noko feil der. Vart ikkje noko «elegant» svar akkurat.

Nebuchadnezzar · 13. mai 2012

Tja, du klarer vel sikkert komme på noen oppgaver selv og =)

a(x) = \ln\left( x^x \right) \ b(x) = e^x \sin \left( e^{-x} \right) \ c(x) = \sqrt{x}\left( 1 + \frac{1}{x}\right) \ \ln\left( \sqrt{ x^2 + 1 } \right) \ d(x) = e^x \cdot x \cdot \ln x

Torbjørn T. · 13. mai 2012

Tja, du klarer vel sikkert komme på noen oppgaver selv og =)

Litt enklare å lese med tex-tag (og align*).

fisering57 · 13. mai 2012

hei. Jeg kikket litt i r2 matteboken hin dagen og kom over noen oppgaver hvor man skulle finne de ubestemte integralene. Jeg klarte å løse oppgavene ved å følge integrasjonsreglene, men fattet ikke helt logikken i det jeg gjorde.

ganske enkle stykker som så slik ut.

Finn de ubestemte integralene:

a) 1/(x+1)dx = ln|x+1|+C fra regelen 1/(x+b)dx=ln|x+b|+C

b) 1/(2x+1)dx = (1/2)ln|2x+1|+C fra regel 1/(ax+b)dx=(1/a)ln|ax+b|+C

så det jeg lurer på er hvordan man skal forklare at man må sette (1/2) forran svaret på b). greit nok at regelen sier at det er slik, men det kommer ikke som en selvfølge for meg. Bruk gjerne t-skjei

ps: finnes det noen pc programmer som er villig til å løse ekstremt vanskelige integrasjonsstykker for meg bare ved å pjåte inn verdier?

takk for hjelp

KjellV · 13. mai 2012

Om du tenker derivasjon så er den deriverte av ln u = 1/u * u'. Regner med det er fra der reglene dine kommer.

www.wolframalpha.com er et fint verktøy man kan bruke. Skriv "integrate" etterfulgt av funksjonen din.

Janhaa · 13. mai 2012

sjå her

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%282x%2B1%29

trykk show steps

Torbjørn T. · 13. mai 2012

Det du gjer er eigentleg ein substitusjon. Om du set $ax b=u$ får du at $chart?cht=tx&chl=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a \qquad\qquad\Rightarrow\qquad\qquad \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \mathrm{d}u$ . Putt dette inn i integralet, og du får

$chart?cht=tx&chl=\displaystyle \int\frac{1}{ax+b}\mathrm{d}x = \int\frac{1}{u} \frac{1}{a}\mathrm{d}u = \frac{1}{a}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u$

Det siste er eit kjend integral, der svaret er ln |u|, so du får, etter å ha satt inn att for u,

$chart?cht=tx&chl=\frac{1}{a}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u = \frac{1}{a}\ln|u| + C = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C$

Du kan sjå på dette som det motsatte av kjerneregelen for derivasjon.

Endret 13. mai 2012 av Torbjørn T.

hoyre · 13. mai 2012

Sliter litt med å se hvordan jeg skal sette opp et stykke for n-te ledd i denne oppgaven om geometriske rekker:

Ola planlegger å kjøpe ny bil til 380 000 kr om fem år. Da regner han med å få 100 000 kr for den gamle bilen sin. Han bestemmer seg for å legge til side 45 000 kr ved begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han i banken om ett år. Han får 6% rente p.a.

Finn ut om han har råd til å kjøpe denne nye bilen rett etter at han har satt inn det femte beløpet.

Jeg satte opp et stykke som dette:

a_n=(1,07ⁿ)*45000ⁿ

Siden han setter inn et nytt sparebeløp, må vel det også ha en eksponent n.

Videre ser jeg ikke hvordan jeg skal velge ut en koeffisient ut i fra dette stykket, da det er to variabler.

På forhånd takk!

Jaffe · 13. mai 2012

Her må du lage deg en geometrisk rekke som representerer hvordan innskuddene på kontoen utvikler seg. Det er kanskje det du har tenkt på? Å bare se på formlene kan være ganske forvirrende. I stedet kan du prøve å 'bygge opp' rekken: Til å begynne med setter han inn 45 000. Når det har gått et år har disse blitt forrentet én gang, dvs. at han da har 45000 \cdot 1.06 på konto. Så setter han inn 45 000. Da har han (altså etter ett år) 45000 * 1.06 + 45000 på konto. Neste år igjen har disse to innskuddene blitt forrentet, samtidig som han setter inn nye 45000. Så han har da $chart?cht=tx&chl=45000 * 1.06^2 + 45000 \cdot 1.06 + 45000$ . Hvordan ser rekken ut etter at han har satt inn det femte beløpet? Jo, da må det siste innskuddet være 45000, det nest-siste 45000 * 1.06, innskuddet før det $chart?cht=tx&chl=45000 \cdot 1.06^2$ osv. Totalt sett har vi rekken $chart?cht=tx&chl=45000 \cdot 1.06^4 + ... + 45000 \cdot 1.06 + 45000$ .

Er du med på denne tankegangen? Hva blir summen?

EDIT: Formelen din for $a_n$ skjønner jeg ikke helt. Hva skal a stå for? Hvorfor er 45000 opphøyd i n-te?

Endret 13. mai 2012 av Jaffe

hoyre · 13. mai 2012

Her må du lage deg en geometrisk rekke som representerer hvordan innskuddene på kontoen utvikler seg. Det er kanskje det du har tenkt på? Å bare se på formlene kan være ganske forvirrende. I stedet kan du prøve å 'bygge opp' rekken: Til å begynne med setter han inn 45 000. Når det har gått et år har disse blitt forrentet én gang, dvs. at han da har 45000 \cdot 1.06 på konto. Så setter han inn 45 000. Da har han (altså etter ett år) 45000 * 1.06 + 45000 på konto. Neste år igjen har disse to innskuddene blitt forrentet, samtidig som han setter inn nye 45000. Så han har da $chart?cht=tx&chl=45000 * 1.06^2 + 45000 \cdot 1.06 + 45000$ . Hvordan ser rekken ut etter at han har satt inn det femte beløpet? Jo, da må det siste innskuddet være 45000, det nest-siste 45000 * 1.06, innskuddet før det $chart?cht=tx&chl=45000 \cdot 1.06^2$ osv. Totalt sett har vi rekken $chart?cht=tx&chl=45000 \cdot 1.06^4 + ... + 45000 \cdot 1.06 + 45000$ .

Er du med på denne tankegangen? Hva blir summen?

EDIT: Formelen din for $a_n$ skjønner jeg ikke helt. Hva skal a stå for? Hvorfor er 45000 opphøyd i n-te?

Ahh, takker! Så langt hadde jeg aldri tenkt.

hoyre · 13. mai 2012

Men så i del b av denne oppgaven, spørres det om:

Hvor mye må han spare ved begynnelsen av hvert år dersom han skal få råd til å kjøpe denne bilen rett etter at han har satt i det femte beløpet?

Ser ikke helt hvordan jeg skal lage en formel for summen, om det er det jeg må.

Torbjørn T. · 13. mai 2012

Om han sparer x kr per år, har han etter fem år x*1.06^4 + x*1.06^3 + ... + x. Du kan faktorisere ut x, og du veit kva summen skal verte. Då vert det enkelt å finne x ut frå den likninga.

Emancipate · 13. mai 2012

Sliter litt med å se hvordan jeg skal sette opp et stykke for n-te ledd i denne oppgaven om geometriske rekker:

Ola planlegger å kjøpe ny bil til 380 000 kr om fem år. Da regner han med å få 100 000 kr for den gamle bilen sin. Han bestemmer seg for å legge til side 45 000 kr ved begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han i banken om ett år. Han får 6% rente p.a.

Finn ut om han har råd til å kjøpe denne nye bilen rett etter at han har satt inn det femte beløpet.

Det som er trikset her er at du må være bevisst på om du skal lage en følge der hvert ledd er sparesummen i år n, eller om du skal lage en rekke, der summen s_n, er sparesummen i år n. Det "naturlige" i hodet mitt er å gjøre det første, men oppgaven vil nok at du skal gjøre det siste, dette er også det som gir mest effektiv utregning ved mange års sparing.

Om du gjør det første ender du opp med dette, der a er tallfølgen.

a₁ = 0

a_n = (a_{n - 1})*1.06 + 45000

Som du ser er det hverken en aritmetisk eller geometrisk rekke, og dermed er det ikke noe triks for å summere den. Derfor bør du gjøre som beskrevet av Jaffe.

Taffenh · 14. mai 2012

Noen som vet om det er et behov for R-matte elever å kunne å bruke Geobra? Er vel bare for å illustrere er ikke det det da?

Betenkt · 14. mai 2012

Noen som vet om det er et behov for R-matte elever å kunne å bruke Geobra? Er vel bare for å illustrere er ikke det det da?

Du kan gjøre det aller meste uten GeoGebra både i R1 og R2, men du sparer enormt med tid på å tegne grafer i GeoGebra.

Abigor · 14. mai 2012

Tegne grafer er ganske fort gjort da, trenger man noe annet enn kalkulator for å hjelpe seg med det?

Emancipate · 14. mai 2012

Noen som vet om det er et behov for R-matte elever å kunne å bruke Geobra? Er vel bare for å illustrere er ikke det det da?

Du kan gjøre det aller meste uten GeoGebra både i R1 og R2, men du sparer enormt med tid på å tegne grafer i GeoGebra.

Det er jo ikke akkurat mye jobb å tegne en graf på kalkulatoren. Jeg brukte ikke GeoGebra til noe fornuftig i R1.

Abigor · 14. mai 2012

Man trenger ikke et spesifikt verktøy til å lære seg matematikk, men en god kalkulator er en fordel og ellers er det greit å prøve så mye som mulig vil jeg si.

Men man klarer seg helt greit med bare en kalkulator. På eksamen er det som oftest alt man får ha med uansett.

MrUrge · 14. mai 2012

Utifra informasjonen gitt på bildet. Hvordan finner man vinkel alfa og beta ?

Gjerne i god forklaring

Joffii · 14. mai 2012

Hei!

Lærern har satt opp nevneren slik i en Lag formel : (s+0,1xK*wp)

Lurer da på om han da mener kryssprodukt? K er i dette tilfellet 0.234 og wp er 0.55

Får altså rett om jeg bare ganger sammen 0.1*k*wp men kan dette bare være en tilfeldighet? Om jeg tar feil og det skal kryssprodukteres kunne noen vist meg dette?

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer