Pi og nøyaktighet

[Intueri]

Har en diskusjon pågående med en som påstår at pi ikke kan beregnes nøyaktig, og såvidt jeg vet er dette det vanlige synspunktet, men betyr ikke unøyaktighet at vi operer med for store enheter i utgangspunktet? Dvs. at om vi benyttet oss av det minstet objektet som er, at vi da kunne fått et nøyaktig tall uten desimaler? Nå kan ikke vi se det minste objektet som er da vi ikke har nøyaktige nok instrumenter, men det skulle vel la seg gjøre i teorien å måle pi nøyaktig? Eller er jeg helt på jordet?

[Mr D]

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/

[Intueri]

http://3.14159265358...20974944592.no/

 

Hva har det med saken å gjøre når den minste måleenhet vi bruker, er 1/1000 mm? Det er jo ikke rart at vi aldri får pi korrekt når man benytter seg av unøyaktige måleenheter i utgangspunktet. Om vi skulle ha målt helt nøyktig hva lengde angår, så måtte vi ha tatt det minste objektet i universet, noe som i per i dag er forbi vår kapasitet. Sånn jeg tenker da ...

[Mr D]

Pi er en matematisk konstant som definerer forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Det har ingenting med måleenheter å gjøre.

[Intueri]

Pi er en matematisk konstant som definerer forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Det har ingenting med måleenheter å gjøre.

 

Hvorfor blir tallet alltid unøyaktig da? Jo flere desimaler, jo nøyaktigere tall ... Det skurrer litt.

[Mr D]

Det står på nettstedet jeg lenket til.

Pis nøyaktige verdi har en ikke-syklisk desmialrekke som går mot uendelig. Det lar seg derfor ikke gjøre å finne nøyaktig Pi.

[Aleks855]

Hvorfor blir tallet alltid unøyaktig da? Jo flere desimaler, jo nøyaktigere tall ... Det skurrer litt.

 

Joda, du kan gjøre det helt nøyaktig HVIS og BARE HVIS du får til å skrive uendelig mange desimaler.

 

Siden dette ikke går (si fra hvis du får til), så vil det alltid være en viss unøyaktighet når vi regner med pi. Helt uavhengig av måleenheter.

Endret 22. november 2012 av Aleks855

[Intueri]

Joda, du kan gjøre det helt nøyaktig HVIS og BARE HVIS du får til å skrive uendelig mange desimaler.

 

Siden dette ikke går (si fra hvis du får til), så vil det alltid være en viss unøyaktighet når vi regner med pi. Helt uavhengig av måleenheter.

 

Hva mener du med uendelig egentlig? Er noe uendelig i det hele tatt?

[wingeer]

Ja, antallet desimaler i pi.

 

Pi er et irrasjonelt tall, som vil si at det ikke kan skrives som en brøk. Personen som sier at det ikke kan beregnes nøyaktig har altså rett. Dersom du derimot tar en linjal og tegner en strek fra 0 til 4 kan du si at du i et punkt har "tegnet" pi. Du kan derimot ikke peke på hvor det punktet er. Uavhengig av hvor gode måleinstrumenter du har.

Litt mer angående uendelighet. Jeg kan ikke komme på noe som er fysisk uendelig, men uendelighet eksisterer som et konsept innenfor matematikk.

[Intueri]

Ja, antallet desimaler i pi.

 

Pi er et irrasjonelt tall, som vil si at det ikke kan skrives som en brøk. Personen som sier at det ikke kan beregnes nøyaktig har altså rett. Dersom du derimot tar en linjal og tegner en strek fra 0 til 4 kan du si at du i et punkt har "tegnet" pi. Du kan derimot ikke peke på hvor det punktet er. Uavhengig av hvor gode måleinstrumenter du har.

Litt mer angående uendelighet. Jeg kan ikke komme på noe som er fysisk uendelig, men uendelighet eksisterer som et konsept innenfor matematikk.

 

Men om tall ikke er ekte, dvs. abstrakt, hva er da egentlig poenget med det utenom å lage primitive objekter her på jorden? Dumt spørsmål kanskje men hehe

[Zeph]

Er ikkje Pi eit veldig praktisk tal, sidan me kan rekne ut sirkelforma objekt med det?

[Aleks855]

Men om tall ikke er ekte, dvs. abstrakt, hva er da egentlig poenget med det utenom å lage primitive objekter her på jorden? Dumt spørsmål kanskje men hehe

 

Tingen er at disse primitive objektene allerede finnes. Vi bruker matematikk for å undersøke dem og finne ut hvilke egenskaper de har. Pi har vært et veldig viktig tall i denne sammenhengen, fordi det å bruke dette tallet lar oss finne volumet av kuleformede objekter, arealet av sirkulære objekter, og dette er helt enormt viktig for eksempel når man skal lage dekk til F1-biler, eller i en litt større sammenheng; når vi skal finne ut hvor Mars befinner seg når Mars Rover blir skutt opp. Hvis man skal treffe en planet, så holder det ikke å bare skyte mot planeten der den befinner seg NÅ, for den vil flytte seg milevis innen prosjektilet kommer så langt

 

Pi er ikke et tall vi mennesker har konstruert. Det er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en perfekt sirkel. Det vil si at alt som har med sirkler å gjøre, har med pi å gjøre. Dette er veldig sentralt innenfor vanvittig store deler av fysikk. Alt fra det å finne ut hvor mange H-atomer man får i et kammer, til det å finne ut hvor stor Jupiter må være for å kunne endre tidevannet på Jorda.

[wingeer]

Tingen er at disse primitive objektene allerede finnes. Vi bruker matematikk for å undersøke dem og finne ut hvilke egenskaper de har. Pi har vært et veldig viktig tall i denne sammenhengen, fordi det å bruke dette tallet lar oss finne volumet av kuleformede objekter, arealet av sirkulære objekter, og dette er helt enormt viktig for eksempel når man skal lage dekk til F1-biler, eller i en litt større sammenheng; når vi skal finne ut hvor Mars befinner seg når Mars Rover blir skutt opp. Hvis man skal treffe en planet, så holder det ikke å bare skyte mot planeten der den befinner seg NÅ, for den vil flytte seg milevis innen prosjektilet kommer så langt

 

Pi er ikke et tall vi mennesker har konstruert. Det er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en perfekt sirkel. Det vil si at alt som har med sirkler å gjøre, har med pi å gjøre. Dette er veldig sentralt innenfor vanvittig store deler av fysikk. Alt fra det å finne ut hvor mange H-atomer man får i et kammer, til det å finne ut hvor stor Jupiter må være for å kunne endre tidevannet på Jorda.

Nå skal det nevnes at dette er EN ideologi innenfor matematisk filosofi (metamatematikk ). Det du beskriver her er hva som kalles matematisk realisme. Et annet syn på det hele er formalisme som hevder ideen om at matematiske konsept egentlig ikke handler om noenting, men rett og slett er et "spill" som går ut på å manipulere eksisterende strenger til nye strenger. F.eks. i geometri hvor en tar et sett med aksiomer og konstruerer teorem ut ifra disse. Kort innføring dette. Du kan lese mer på wikipedia.

 

 

Men om tall ikke er ekte, dvs. abstrakt, hva er da egentlig poenget med det utenom å lage primitive objekter her på jorden? Dumt spørsmål kanskje men hehe

Dette er et godt spørsmål! Dette er på ingen måte historisk korrekt, men kun en motivator for det hele:

Hvis vi ser tilbake startet man kun med positive heltall for å telle ting, mest sannsynlig. Kanskje det var handel som motiverte dette? Man hadde ikke et konsept om f.eks. 0. Men positive tall får deg bare så-så langt. Hva om man ønsker å snakke om gjeld? Dermed ble kanskje negative tall og 0 innført. La oss nå bare anta for enkelhetens skyld at man hadde et konsept om ligninger og aritmetikk. F.eks. . Denne er veldig lett å løse for x: Det er bare å trekke fra 3 på begge sider og dermed blir x=5. Hva med ? Her deler vi med 2 på begge sider og får x=2, men hva skjer dersom vi har ? Hvis vi deler med 3 på begge sider her sitter vi igjen med et tall som ikke eksisterer (husk, vi har kun heltall)! Vi blir nødt til å innføre rasjonelle tall, eller brøker om du vil.

Nå har vi kommet ganske langt og er i stand til å løse de fleste ligninger vi kommer over, med det nye systemet vårt. Si vi til og med er kjent med Pytagoras sitt teorem og la oss si vi ønsker å beregne hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter som har lengde på 1 lengdeenhet. Vi kjører dette inn i formelen vår og vi får at: . Hvordan skal vi løse denne? Man kan kanskje foreslå å ta kvadratroten på begge sider, og det vil være helt greit ... Forutsatt at en har kjennskap til det systemet vi har nå i dag. Her er det derimot ikke utviklet enda. Aristoteles hintet til at dette kanskje ikke var mulig med de tallene vi allerede har (beviset er veldig kjent). Og dermed støter vi på enda flere problemer. Det systemet vi trodde var godt nok er ikke lenger godt nok og vi blir nødt til å legge til tall som som kalles irrasjonelle tall, og det viser seg nå at dette er hva som utgjør de reelle tall. Det er ingen hull på denne tallinja lenger. Men det at det heller ikke er noen hull er det som gjør det så vanskelig med tanke på uendeligheter. For at det ikke skal være noen hull må det finnes tall som ikke "kan beskrives" med endelige egenskaper. Det er umulig å tenke seg til.

Så kan en spørre seg om de reelle tall er "nok"? Finnes det ligninger her som en ikke kan løse, og det vil en finne ut at det gjør:

, f.eks. Kvadratroten av negative tall er ikke definert, siden det ikke finnes noen tall som har den egenskapen at når du opphøyer de i annen blir negative. Derfor ble de komplekse tall introdusert. De ser nesten ut som de reelle tall, bare at de har med seg en "imaginær enhet" i. Et kompleks tall kan skrives som hvor a og b er reelle tall. Det som gjør at vi kan løse slike ligninger som over er at i har den egenskapen at , nettopp det vi trenger! De komplekse tall er algebraisk lukket, som vil si at det "ikke finnes" ligninger som ikke kan løses. Hermetegn fordi det er en grov forenkling.