[Løst] Matte-problem: Vektorregning

[2Rjuice]

Hei!

 

 

Jeg sitter med en matteoppgave som jeg ikke klarer å løse.

 

 

Oppgaven lyder slik:

 

Tegn en vilkårlig firkant ABCD. Kall midtpunktene på sidene for E, F, G og H. Bruk vektorregning til å vise at firkanten EFGH er et parallellogram.

 

 

Jeg skal da vise dette, uten å bruke vektorkoordinater.

 

Noen kyndige som har peiling?

 

 

Endret 2. februar 2021 av Uderzo
fjernet signatur

[Jaffe]

Her er en "oppskrift" du kan følge. Jeg tror du lærer mer av å følge den og finne ut av dette på egen hånd.

 

For å vise at EFGH er et parallellogram må du vise at EH = FG og at EF = HG (alle disse er vektorer).

 

1. Hva kan du si om vektorsummen AB+BC+CD+DA?

2. Prøv å finne et uttrykk for EH. Tenk deg at du skal "gå" fra E til H. Da kan du gå fra E til A og så fra A til H. Kan du uttrykke vektorene EA og AH ved hjelp av AB og AD?

3. Gjør tilsvarende for den motstående siden FG. Kan du finne et uttrykk for vektoren FG?

4. Kan du bruke uttrykket du fant i steg 1 til å vise at EH = FG?

5. Tenk tilsvarende for å vise EF = HG.

[2Rjuice]

Her er en "oppskrift" du kan følge. Jeg tror du lærer mer av å følge den og finne ut av dette på egen hånd.

 

For å vise at EFGH er et parallellogram må du vise at EH = FG og at EF = HG (alle disse er vektorer).

 

1. Hva kan du si om vektorsummen AB+BC+CD+DA?

2. Prøv å finne et uttrykk for EH. Tenk deg at du skal "gå" fra E til H. Da kan du gå fra E til A og så fra A til H. Kan du uttrykke vektorene EA og AH ved hjelp av AB og AD?

3. Gjør tilsvarende for den motstående siden FG. Kan du finne et uttrykk for vektoren FG?

4. Kan du bruke uttrykket du fant i steg 1 til å vise at EH = FG?

5. Tenk tilsvarende for å vise EF = HG.

 

Bra oppskrift, men dessverre står jeg fast på punkt 4. Vektorsummen i punkt 1 blir 0, men ser ikke sammenhengen. Kan du hjelpe meg?

[Jaffe]

Hvilke uttrykk har du funnet da? Blir litt dumt om du har tatt utgangspunkt i andre vektorer enn jeg har (det er flere måter å gjøre dette på).

[2Rjuice]

Hvilke uttrykk har du funnet da? Blir litt dumt om du har tatt utgangspunkt i andre vektorer enn jeg har (det er flere måter å gjøre dette på).

 

Slik har jeg satt det opp:

 

EH = 1/2 AB + 1/2 AD

FG = 1/2 BC + 1/2 CD

[Jaffe]

Ser riktig ut. Uttrykkene kan du skrive som EH = 1/2 (AB + AD) og FG = 1/2 (BC + CD).

 

I 1 så fant du ut at vektorsummen ble 0. Kan du da finne en sammenheng mellom AB + AD og BC + CD?

 

EDIT: EH skal være 1/2 (BA + AD). Altså BA, og ikke AB. Ser du at det må være slik?

Endret 9. november 2012 av Jaffe

[2Rjuice]

Ser riktig ut. Uttrykkene kan du skrive som EH = 1/2 (AB + AD) og FG = 1/2 (BC + CD).

 

I 1 så fant du ut at vektorsummen ble 0. Kan du da finne en sammenheng mellom AB + AD og BC + CD?

 

EDIT: EH skal være 1/2 (BA + AD). Altså BA, og ikke AB. Ser du at det må være slik?

 

BA blir riktig ja..

 

At EH = 1/2 BD og FG = 1/2 BD).

 

EH = FG.

 

Gjør det samme for EF og HG.

 

EF = 1/2 (AB + BC) = 1/2 AC

HG = 1/2 (AD + DC) = 1/2 AC

 

EF = HG, og EH = FG som vil si at dette er et parallellogram. Q.E.D.

 

 

Tusen hjertelig takk for hjelpen!

[Jaffe]

Flott!

 

(Det var også en måte å gjøre det på, jeg tenkte i utgangspunktet bare at siden vektorsummen av AB, BC, CD og DA er 0 så må BA + AD = BC + CD, og derfor må EH = FG. Men å gjenkjenne at begge deler er lik BD er jo like fint!)

[2Rjuice]

Godt tenkt

 

Takk for hjelpen!