Finne generell løsning på lineært system

[srbz]

Jeg driver kontrollsjekking av en innlevering i lineær algebra som skal inn snart, og lurer på om jeg har forstått oppgaven riktig. Har forsøkt å gjengi den etter beste evne i paint under

 

Jeg skal altså finne den generelle løsningen på følgende lineære system, hvis den eksisterer:

 

I eksemplene læreboken min bruker representerer hver rad i matrisen en ligning på formen a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b. Det jeg stusset over her var den grafiske presentasjonen av oppgaven, men jeg har tolket det slik at B [matrise] øverst til venstre er en multiplikasjon av matrisen B og matrisen som inneholder x-variablene. Jeg antar videre at der boken setter "svarkonstanten" (b) inn i matrisen (i kolonnen helt til høyre) som representerer systemet, er svarkonstanten i dette tilfelle det som står i øverste høyre matrise, på respektive rader.

 

Slik jeg da har gått frem:

Jeg skriver dette om til algebraisk form

 

(1) 1x₁ + 1x₂ + (0x₃) = 1

(2) 2x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 0

(3) (0x₁ + 0x₂ +) 1x₃ = 1

(4) 1x₁ - 1x₂ (+0x₃) = 0

 

Av (3) ser vi at x₃ = 1, og av (4) følger det at x₁ = x₂. Setter vi x₁ inn for x₂ i (1) får vi at x₁ + x₁ = 2x₁ = 1, altså at x₁ = 1/2 = x₂.

 

Da har vi funnet unike løsningsverdier for hver av variablene, og jeg setter disse inn i venstresiden av (2) for å kontrollere. Jeg får:

 

2*1/2 - 2*1/2 + 3*1 = 3

 

som åpenbart ikke stemmer. Dette skulle, ifølge min tolkning av oppgaveteksten, blitt 0. Altså foreligger en av følgende forklaringer:

 

1. Systemet er inkonsistent og det finnes dermed verken noen unik eller generell løsning, eller
   
2. Jeg har feiltolket oppgaven noe innfor¤%$&£
   

 

Setter stor pris på om kompetente matematikere kan påpeke eventuelle feil jeg har gjort.

Endret 21. mars 2011 av srbz

[Torbjørn T.]

1. Systemet er inkonsistent og det finnes dermed verken noen unik eller generell løsning.
   

Stemmer. Du kan eigentleg sjå det raskt frå likning (1) og (4). (1) seier at x₁ + x₂ = 1, medan (4) seier at x₁ + x₂ = 0, noko som ikkje kan gå. Du kan og radredusere totalmatrisa og vise at du får .

 

Tolkinga di av den grafiske representasjonen er korrekt.

 

P.S. Vha. mimetex kan du skrive matriser i forumet slik:

 

[srbz]

Takk for svar og tips. Liten pirk forøvrig:

(1) seier at x₁ + x₂ = 1, medan (4) seier at x₁ + x₂ = 0

Nei, (4) sier at x₁- x₂ = 0

Altså ville 0,5 ha vært en gyldig verdi for begge variablene dersom man kun ser på disse to likningene

[Torbjørn T.]

Då har du skrive feil i Paint, for på biletet ditt er rad 1 og rad 4 i B identiske. (Eg såg ikkje so nøye på tekstversjonen av likningssettet, beklager den. Men svaret er det same.)

[srbz]

Stemmer, sorry, min feil. x₂ i siste likning skal være -1, jeg gjorde feil i paint ja.