Hvordan skal jeg bevise denne matteoppgaven?

[Shushi]

fikk ikke noe hjelp i matte-assitanse tråden..

 

Du skal her ta for deg uttrykket U(n)=25ⁿ - 1, der n er et naturlig tall.

a) Regn ut U(1), U(2), U(3). Undersøk om svarene er delelig med 3.

b) Begrunn at U(n)=(5ⁿ + 1)(5ⁿ -1)

c) Lag en tabell over (5ⁿ + 1), (5ⁿ -1) og (5ⁿ) for n=1, n=2, n=3 og n=4 Forklar hvorfor du får ett tall som er delelig med 3 for hver verdi av n. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3?

d)Bruk b og c over til å vise at u(n) er delelig med 3 for alle naturlige tall n.

 

hjelp med d? Er ikke helt sikker på hvordan jeg skal bevise det,

[Janhaa]

Hva med modulo

 

 

 

 

[srbz]

Av ren nysgjerrighet lurer jeg på hvordan du løste de andre oppgavene?

[Janhaa]

evt til srbz:

a)

 

U(1)=24

fordi;

24 = 8*3

 

U(2)=624

fordi;

624 = 208*3

 

U(3)=156224

fordi;

15624 = 5208*3

===========================

 

b)

===========================

 

c)

[Latias]

Videre diskusjon rundt/om kulturen i matteassistansetråden taes i denne tråden.

Reaksjoner på dette taes på PM.

[Shushi]

øhm, jeg går på VG2, så vi har ikke lært noe av det der! Vi har vel bare fått en ganske basic innførsel i bevisføring.. Kan du bevise det ved hjelp av logiske slutninger og algebra? Slik at jeg kanskje vil forstå det? lol

 

Jeg begynte å tenke at for hver verdi av n så ville resultatet inneholde 3 forsjellige naturlige tall.. Så en av dem måtte være delelig med 3..

 

men jeg klarer rett og slett ikke å bevise det.. Er ikke sikker på om det er en-gang rett tenkemåte!

 

srbz: vis du ikke forstod det han janhaa sa;

A var straight forward, B gjorde jeg cirka det samme som janhaa (tredje kvadrat setning) c så satte jeg opp den tabellen og gjorde en slutning utifra mønsteret som viste seg.

Endret 19. desember 2010 av Shushi

[fenderebest]

Når du ganger 5 med seg selv vil svaret bestandig slutte på 5, trekker du fra en og plusser på 1 får du henholdvis 4 og 6. 4*6 = 24, 24 er delelig på 3, siden alle svarene slutter på 24(vil alle kunne deles på 3.

 

Med andre ord:

Gitt 5*5*... vil svaret bestandig slutte på 5.

5-1=4, 5+1 = 6.

4*6 = 24.

24 er delelig med 3.

Siden man bestandig ganger 4 med 6 vil svaret bestandig ende med 24.

 

Ikke akkurat en formellt bevis, men mer en observasjon.

Men aner ikke hvilke bevisteknikker dere bruker på R1, så du får se hvilke som passer best.

Endret 19. desember 2010 av fenderebest

[Shushi]

japp, når man ganger 2*2 med 3*2 så får man 2*2*3*2... og det inneholder faktoren 3.

 

Man ganger også 2 tall som alltid vil ha 5+-1 som endesiffer.. Ja det beviset ditt høres ganske bra ut, tusen takk!

Endret 19. desember 2010 av Shushi

[Shushi]

edit: men at et tall ender med 24 innbærer jo ikke nødvendigvis at tallet alltid er delelig med 3.. Jeg skjønner liksom tenkemåten din og jeg tror at den er riktig, men jeg har det vanskelig for å skrive ned på papir og bli ferdig med denne oppgaven..

[fenderebest]

Det var ikke ment som noe konkret bevis, men mer hva jeg tenkte, det riktig at ikke alle tall som slutter på 24 er delelig med 3, kun de som har faktor 3 i seg. Jeg antar at man kan faktorisere tallene og dermed vise at det tallet man ender opp med bestandig vil ha en faktor på tre i seg.

[Nebuchadnezzar]

Da prøver vi oss på noe enkelt

 

n^3-n

 

Bevis at dette alltid er dellig på 3... Mmm jeg aner ikke helt hvor jeg skal begynne. Men jeg prøver og putte inn noen verdier. For eksempel n=1, n=2, n=3. Men hvordan beviser jeg dette? La oss prøve og faktorisere :D

 

n^3-n

n(n^2-1)

n(n-1)(n+1)

(n-1)(n)(n+1)

 

Om vi prøver å putte inn et par tall her ser vi at dette er tre påfølgende tall som vi ganger sammen. Altså om vi prøver med n=1, n=2 og n=3 igjen får vi

 

(0)*(1)*(2) og (1)*(2)*(3) og (2)*(3)*(4)

 

I blant tre påfølgende heltall, vil ett av tallene alltid være delig på 3. Siden hvert tredje tall er dellig på 3 (tygg litt på denne)

 

Altså når vi ganger sammen tre påfølgende tall vil ett av tallene alltid være dellig på 3, og dermed er også tallet delelig på 3.

 

 

Dette er nesten to påfølgende heltall, det eneste som er mellom disse to tallene i tallrekka er 5^n. (Prøv dette ut!) skriv opp tallene når n=1,n=2,n=3 og se at dette er tre tall.

 

5^n vil alltid bestå av bare 5tall. 5*5 m 5*5*5, 5*5*5*5 osv. Dermed vet vi at 5^n aldri er delelig på 3. Hva vet du da om (5^n-1) eller (5^n+1) ?

[Shushi]

tusen takk, hvert tredje tall på en tallrekke (begynne på 1) er jo åpenbart delelig med 3, og ((5^n)-1), 5^n og ((5^n)+1) er 3 naturlige tall som følger hverandre på tallrekka. tusen takk.

 

Takk for fenderbest også

[Nebuchadnezzar]

Klarer du nå og bevise at 4^n - 1 alltid er delelig på 3?

[Shushi]

hehe, er jo nesten lik oppgave som den jeg spurte om , så jeg vil anta det. heller se hva jeg finner i R1 boken min av bevis oppgaver

 

men uansett nå går jeg og legger meg, god natt.