Løse en separabel førsteordens differensialligning

[konduktans]

Har obligatorisk innlevering på Universitetet i dag, og en av oppgavene er om en differensialligning. Jeg fikk litt hjelp av en medelev til å løse den, men er usikker på et steg i prosessen!

 

x' - x² = 1 , x(0) = 1

 

Oppgave: finn løsningen x(t) av differensialligningen analytisk. (ligningen er separabel).

 

Her er utregningen min, og det vi kom frem til at var svaret!

 

x' = 1 + x² |deler hele uttrykket på (1+x²)

 

x'/(1+x²) = 1

 

| = integraltegn

 

| x'/(1+x²) dt = | 1 dt

 

| 1/(1+x²) dx = | 1 dt <---Hva skjedde her? Tror det er substitusjon, men har ikke klart å gjenskape "hendelsen".

 

arctan(x) = t + C

 

x = tan(t + C) <------------ er dette riktig svar? svaret er jo ikke på formen x(t)?

 

 

Takk for alle svar innen klokken 2

[the_last_nick_left]

Du har at . Hvis du nå "later som om" er en vanlig brøk kan du gange med dt og dele på (1+x²) for å få alt som avhenger av x på den ene siden og alt som avhenger av t på den andre siden. Da har du altså at og så kan du (av en eller annen grunn jeg aldri helt har forstått) "tegne på" et integraltegn og fortsatt beholde likheten så du får . Hvorfor det blir riktig bør være beskrevet i læreboken din, jeg er økonom, så for meg holder begrunnelsen "det blir riktig svar".. Jeg fikk en forklaring av matteprofessoren min en gang, men nå har jeg glemt den.

 

Og jo, svaret er på formen x(t) i betydningen x =f(t).

 

Om svaret er riktig? Vel, det sjekker du greit selv ved å derivere tan(t+C) og sette inn i den opprinnelige likningen. Og forresten: Du skal finne den spesielle løsningen for x(0)=1, så da må du bestemme C som gjør at det uttrykket stemmer.

 

Ellers har vi denne tråden til slike spørsmål.

Endret 4. november 2010 av the_last_nick_left

[Krankemot]

Nice, takk skal du ha

[konduktans]

Ja, takk for raskt og godt svar! Du hjalp meg forhåpentligvis å få godkjent oblig