Sannsynlighet: Trenger 2 formler

[Benbjo]

Hei! Er ganske mange år siden jeg drev med sannsynlighet og trenger en formel for løse et problem.

 

Den første er: Vi skal trekke X ganger og den totale sannsynligheten for at noe inntreffer etter X ganger er Y%. Altså si at vi trekker 40 ganger og den totale sannsynligheten for at hendelsen inntreffer er 20%. Hva er da den individuelle sjansen for at hendelsen skjer en spesifikk gang?

[Newklear]

At hendelsen inntreffer NØYAKTIG en gang, eller MINST en gang? Det er to forskjellige ting, nemlig! : )

[Benbjo]

At hendelsen inntreffer NØYAKTIG en gang, eller MINST en gang? Det er to forskjellige ting, nemlig! : )

 

Det er jeg klar over. Fikk litt dårlig tid når jeg skrev innlegget.

 

La oss si minst en gang. Man stopper å trekke når hendelsen inntreffer. Altså maks X ganger.

 

Glemte å spørre mitt neste spørsmål også. I tillegg til den faste Z%en jeg er interessert i, ønsker jeg også en W som ikke er fast, men som øker etter hver trekning. Altså starter veldig lavt på første trekning, men som er mye høyere etter 40 trekninger. Den totale sjansen er forsatt 20%. Er en slik W enkel å finne for hver trekning?

[Newklear]

At hendelsen inntreffer NØYAKTIG en gang, eller MINST en gang? Det er to forskjellige ting, nemlig! : )

 

Det er jeg klar over. Fikk litt dårlig tid når jeg skrev innlegget.

 

La oss si minst en gang. Man stopper å trekke når hendelsen inntreffer. Altså maks X ganger.

 

Glemte å spørre mitt neste spørsmål også. I tillegg til den faste Z%en jeg er interessert i, ønsker jeg også en W som ikke er fast, men som øker etter hver trekning. Altså starter veldig lavt på første trekning, men som er mye høyere etter 40 trekninger. Den totale sjansen er forsatt 20%. Er en slik W enkel å finne for hver trekning?

Minst en gang skal bli! Resten av innlegget ditt greide jeg ikke henge med på! Kan du, med ord, beskrive hva du prøver å finne? : )

 

Skal fikse den andre så lenge! : )

 

EDIT:

 

Tolket det du sa som MINST en hending. Hvis du stopper å trekke etter første gunstige utfall, vil dette bli riktig. Jeg har brukt en binomisk sannsynlighetsmodell, dvs. jeg har forutsatt at sannsynligheten for at hendingen skal inntreffe er den samme for hver enkelt trekning.

 

Sannsynligheten for at en hending a med sannsynlighet p intreffer NØYAKTIG x ganger i løpet av n trekninger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

MINST EN gunstig hending (altså 1-p(x=0)), gir da:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?1-(1-p)^{n}

 

Formel for at hendingen n intreffer minst k ganger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?\sum_{x=k}^{n}\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

Mindre enn k ganger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?1-\sum_{x=k}^{n}\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

jeez, takler ikke LaTeX-pluginen her binomialkoeffisienter? o_0 FAIL!

Endret 14. juni 2010 av Newklear

[Benbjo]

At hendelsen inntreffer NØYAKTIG en gang, eller MINST en gang? Det er to forskjellige ting, nemlig! : )

 

Det er jeg klar over. Fikk litt dårlig tid når jeg skrev innlegget.

 

La oss si minst en gang. Man stopper å trekke når hendelsen inntreffer. Altså maks X ganger.

 

Glemte å spørre mitt neste spørsmål også. I tillegg til den faste Z%en jeg er interessert i, ønsker jeg også en W som ikke er fast, men som øker etter hver trekning. Altså starter veldig lavt på første trekning, men som er mye høyere etter 40 trekninger. Den totale sjansen er forsatt 20%. Er en slik W enkel å finne for hver trekning?

Minst en gang skal bli! Resten av innlegget ditt greide jeg ikke henge med på! Kan du, med ord, beskrive hva du prøver å finne? : )

 

Skal fikse den andre så lenge! : )

 

EDIT:

 

Tolket det du sa som MINST en hending. Hvis du stopper å trekke etter første gunstige utfall, vil dette bli riktig. Jeg har brukt en binomisk sannsynlighetsmodell, dvs. jeg har forutsatt at sannsynligheten for at hendingen skal inntreffe er den samme for hver enkelt trekning.

 

Sannsynligheten for at en hending a med sannsynlighet p intreffer NØYAKTIG x ganger i løpet av n trekninger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

MINST EN gunstig hending (altså 1-p(x=0)), gir da:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?1-(1-p)^{n}

 

Formel for at hendingen n intreffer minst k ganger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?\sum_{x=k}^{n}\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

Mindre enn k ganger:

http://latex.codecogs.com/png.latex?1-\sum_{x=k}^{n}\binom{n}{x}\times%20p^{x}\times%20(1-p)^{n-x}

 

jeez, takler ikke LaTeX-pluginen her binomialkoeffisienter? o_0 FAIL!

 

Takker mye for svar, men er ikke helt sikker på om det er dette jeg er ute etter. La meg prøve igjen =)

 

Jeg har en gitt sannsynlighet for at en hendelse skal skje på X trekninger. La oss si at jeg har TOTALT 20% sjanse for at hendelsen skal skje i løpet av 40 trekninger. Hva er da sjansen Y PER TREKNING at hendelsen skjer? Er det som enkelt som sjanse / antall trekninger = 0.5%?

 

Mitt andre spørsmål er tilsvarende, men der er ikke Y fast. Y øker etterhvert som sntall trekninger øker, men den TOTALE sjansen skal fortsatt være 20%. Skjønner du? =)

[Newklear]

Skjønner! For spørsmål 2 må jeg nok ha et konkret praktisk eksempel, for det å regne med varierende sannsynligheter er noe mer komplisert! : )

 

Men det første:

 

Når du sier at hendelsen skal skje, antar jeg vi snakker "minst en gang" som i stad.

 

Hvert bildet er en linje i likningen.. Forumet sin LaTeX-støtte suger...

 

Vi har en hending a som har sannsynligheten p for å forekomme i en enkelt trekning. Vi utfører n trekninger, og finner at sannsynligheten for at a forekommer i løpet av disse n trekningene er lik k. Hva er p?

 

Vi definerer A som at "hending a forekommer minst en gang".

 

Formelen fra tidligere post (minst en gunstig hending) gir følgende likning:

http://latex.codecogs.com/png.latex?p(A)=1-(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?p(A)-1=-(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?1-p(A)=(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}=\ln\left%20({(1-p)^{n}}%20\right%20) Her tar vi den naturlige logaritmen av begge sider.

http://latex.codecogs.com/png.latex?\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}=n\times%20\ln\left%20({(1-p)}%20\right%20) Flytter ned eksponenten, dette tillates pga logaritmen.

http://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}=\ln{\left%20(1-p%20\right%20)} flytter over n.

http://latex.codecogs.com/png.latex?e^{\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}}=1-p Opphøyer e i begge sider, dette for å fjerne logaritmen på høyre side.

http://latex.codecogs.com/png.latex?p=1-e^{\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}} omarrangerer litt, og likningen er løst med hensyn på p!

 

Edit: Dette ser kanskje komplisert ut, men med håndfaste tall er det lett, altså!

Endret 14. juni 2010 av Newklear

[Benbjo]

Skjønner! For spørsmål 2 må jeg nok ha et konkret praktisk eksempel, for det å regne med varierende sannsynligheter er noe mer komplisert! : )

 

Men det første:

 

Når du sier at hendelsen skal skje, antar jeg vi snakker "minst en gang" som i stad.

 

Hvert bildet er en linje i likningen.. Forumet sin LaTeX-støtte suger...

 

Vi har en hending a som har sannsynligheten p for å forekomme i en enkelt trekning. Vi utfører n trekninger, og finner at sannsynligheten for at a forekommer i løpet av disse n trekningene er lik k. Hva er p?

 

Vi definerer A som at "hending a forekommer minst en gang".

 

Formelen fra tidligere post (minst en gunstig hending) gir følgende likning:

http://latex.codecogs.com/png.latex?p(A)=1-(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?p(A)-1=-(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?1-p(A)=(1-p)^{n}

http://latex.codecogs.com/png.latex?\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}=\ln\left%20({(1-p)^{n}}%20\right%20) Her tar vi den naturlige logaritmen av begge sider.

http://latex.codecogs.com/png.latex?\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}=n\times%20\ln\left%20({(1-p)}%20\right%20) Flytter ned eksponenten, dette tillates pga logaritmen.

http://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}=\ln{\left%20(1-p%20\right%20)} flytter over n.

http://latex.codecogs.com/png.latex?e^{\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}}=1-p Opphøyer e i begge sider, dette for å fjerne logaritmen på høyre side.

http://latex.codecogs.com/png.latex?p=1-e^{\frac{\ln{\left%20(1-p(A)%20\right%20)}}{n}} omarrangerer litt, og likningen er løst med hensyn på p!

 

Edit: Dette ser kanskje komplisert ut, men med håndfaste tall er det lett, altså!

 

Flotters! Tusen takk skal du ha =)

Den andre er ikke så viktig da dette passer bedre til mitt formål