generell løsning - inhomogene differensialligning!

[fozza1990]

Finn generell løsning til den inhomogene differensialligningen:

 

y" + 6y' - 7y = 16e^x + 6cos x - 8sin x

 

takk på forhånd!

[Torbjørn T.]

Kan du ubestemte koeffisienters metode? Den skulle fungere her.

[Splinten]

Kan du ubestemte koeffisienters metode? Den skulle fungere her.

 

Ja, stemmer det!

Hvor da skal se på den som en homogen ligning? om jeg ikke tar helt feil?

Endret 24. mars 2010 av Splinten

[Torbjørn T.]

Ja, du finn løysinga av den tilhøyrande homogene likninga, og so ei partikulær løysing for den inhomogene. Den generelle løysinga er summen av desse. Sidan du har tre ledd på høgresida, må du finne tre slike partikulære løysingar.

 

Veit ikkje kva lærebok du har, men i den eg hadde då eg tok eit kurs i difflikningar står det ei ganske grei «oppskrift» på korleis ein løyser slike problem.

[....]

1. ordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter

 

a · y′ + b · y = f(t), y(0) gitt

Her er a og b konstanter, mens f(t) er en ytre kilde (f.eks. en spenningskilde). y(0) er startbetingelsen til differensialligningen.

 

Når en skal løse en slik differensialligning, kan en følge følgende prosedyre:

 

1. Bestem den homogene (transiente) løsningen først

 

Den karakteristiske ligningen er gitt ved a · λ + b = 0. y_H = C · e^λ·t, der λ finnes fra den karakteristiske ligningen. Tidskonstanten til systemet er gitt ved |1/λ|.

 

2. Bestem deretter den partikulære (stasjonære) løsningen

 

Den partikulære løsningen, y_P, vil alltid være av samme funksjonstype som f(t), eventuelt multiplisert med t dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og f(t).

 

• Konstant: y_P = A
  
• 1. grads polynom: y_P = A · t + B
  
• 2. grads polynom: y_P = A · t² + B · t + C
  
• Eksponentialfunksjon (e^−b·t): y_P = A · e^−b·t
  
• Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens ω: y_P = A · sin(ω · t) + B · cos(ω · t)

NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.

 

3. Den totale løsningen er da summen av den homogene og den partikulære løsningen

 

y(t) = y_H(t) + y_P(t)

4. Den frie konstanten i den homogene løsningen bestemmes slik at startbetingelsen oppfylles

Endret 3. januar 2012 av ....

[....]

2. ordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter

 

a · y″ + b · y′ + c · y = f(t), y(0) og y′(0) gitt

Her er a, b og c konstanter, mens f(t) er en ytre kilde (f.eks. en spenningskilde). y(0) og y′(0) er startbetingelsene til differensialligningen.

 

Når en skal løse en slik differensialligning, kan en følge følgende prosedyre:

 

1. Bestem den homogene (transiente) løsningen først

 

Den karakteristiske ligningen er gitt ved a · λ² + b · λ + c = 0.

 

• Tilfelle 1, reelle og forskjellige λ-verdier: y_H = C₁ · e^λ₁·t + C₂ · e^λ₂·t, der λ₁ og λ₂ finnes fra den karakteristiske ligningen.
  
• Tilfelle 2, reelle og like λ-verdier: y_H = C₁ · e^λ·t + C₂ · t · e^λ·t, der λ₁ = λ₂ = λ finnes fra den karakteristiske ligningen.
  
• Tilfelle 3, komplekskonjugerte λ-verdier: y_H = e^α·t · (A · cos(β · t) + B · sin(β · t)), der λ = α ± iβ.

2. Bestem deretter den partikulære (stasjonære) løsningen

 

Den partikulære løsningen, y_P, vil alltid være av samme funksjonstype som f(t), eventuelt multiplisert med t eller t² dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og f(t).

 

• Konstant: y_P = A
  
• 1. grads polynom: y_P = A · t + B
  
• 2. grads polynom: y_P = A · t² + B · t + C
  
• Eksponentialfunksjon (e^−b·t): y_P = A · e^−b·t
  
• Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens ω: y_P = A · sin(ω · t) + B · cos(ω · t)

NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.

 

3. Den totale løsningen er da summen av den homogene og den partikulære løsningen

 

y(t) = y_H(t) + y_P(t)

4. Den frie konstanten i den homogene løsningen bestemmes slik at startbetingelsen oppfylles

Endret 3. januar 2012 av ....

[fozza1990]

Ja, du finn løysinga av den tilhøyrande homogene likninga, og so ei partikulær løysing for den inhomogene. Den generelle løysinga er summen av desse. Sidan du har tre ledd på høgresida, må du finne tre slike partikulære løysingar.

 

Veit ikkje kva lærebok du har, men i den eg hadde då eg tok eit kurs i difflikningar står det ei ganske grei «oppskrift» på korleis ein løyser slike problem.

 

Takk for raskt svar!

Har ikke vært borte i tre ledd på h. side.

Er det mulig å få noen tips til hvordan jeg kan løse dette?

 

Mvh Fozza

[Torbjørn T.]

Du deler det opp i tre:

y" + 6y' - 7y = 16ex

y" + 6y' - 7y = 6cos

y" + 6y' - 7y = - 8sin x

 

Finn ei partikulærløysing for kvar av desse likningane, og summer saman alle tre, pluss løysinga av den homogene, for å få den generelle løysinga.

[fozza1990]

Du deler det opp i tre:

y" + 6y' - 7y = 16ex

y" + 6y' - 7y = 6cos

y" + 6y' - 7y = - 8sin x

 

Finn ei partikulærløysing for kvar av desse likningane, og summer saman alle tre, pluss løysinga av den homogene, for å få den generelle løysinga.

 

Sitter å prøver på dette nå, men får e^x leddene til å forsvinne fra den partikulære løsningen. og har fått oppgitt at svaret skal bli

[Torbjørn T.]

Då gjer du noko feil. Løysinga av den homogene likninga er

 

For den fyrste av dei tre likningane,

,

ville ein vanlegvis antatt ei løysing på forma , men sidan dette allereie er ein del av den homogene løysinga, må du i staden anta at løysinga har forma

jfr. longwinded sitt glimrande innlegg over. Når du bruker denne får du den løysinga Wolfram Alpha har gitt.

 

(Eg ser forresten at det er nok med to likningar, då sinus- og cosinusfunksjonane begge kjem med i same løysing. So du kan setje opp y" + 6y' - 7y = 6cos(x) - 8sin(x), og anta y_p = Asin(x)+Bsin(x).)

[fozza1990]

Då gjer du noko feil. Løysinga av den homogene likninga er

 

For den fyrste av dei tre likningane,

,

ville ein vanlegvis antatt ei løysing på forma , men sidan dette allereie er ein del av den homogene løysinga, må du i staden anta at løysinga har forma

jfr. longwinded sitt glimrande innlegg over. Når du bruker denne får du den løysinga Wolfram Alpha har gitt.

 

(Eg ser forresten at det er nok med to likningar, då sinus- og cosinusfunksjonane begge kjem med i same løysing. So du kan setje opp y" + 6y' - 7y = 6cos(x) - 8sin(x), og anta y_p = Asin(x)+Bsin(x).)

 

Stemmer, hadde et fortegnsfeil.

Takk for hjelp!