Noen som kan hjelpe meg med Sinusfunksjonen?

[Nordis]

Sinus funksjonen er periodisk med 360 grader.

 

Men sliter med å finne nullpunkt,toppunkt og bunnpunkt ved Sin 2x.

 

Tror jeg skjønner hvordan jeg kommer frem til første kordinaten til toppunktet og bunnpunktet, siden jeg vet at f.eks toppunktet på en vanlig sinusfunksjon er 90 grader, blir det jo 45 grader, siden Sin 2x dobler sin periode.

 

Men er det noen måte jeg kan renge meg frem til dette? andre kordinatet må jo bli 1 siden sinusfunksjonen har verdimengden (-1,1), men får ikke til å regne meg frem til det heller. Nullpunkt får jeg ikke til i det heletatt

 

Håper det jeg skrev ble forståelig og skrik ut hvis noe er feil eller du vet hvordan man løser det

[Mr. Bojangles]

Deriver, sett den deriverte lik 0, bruk "enhetssirkelen" og finn de to løsningene.

 

sin(2x)'=2cos(2x) (bruker kjerneregelen)

2cos(2x)=0 |*(1/2)

cos(2x)=0 (tar cos-invers av begge sider)

2x = pi/2 + n*2pi V 2x = 3/2*pi + n*2pi (finner den ene eksakte tabelverdien, finner den andre vha. enhetssirkelen)

x = pi/4 + n*pi V x = 3/4*pi + n*pi

 

Drøft fortegnet og finn ut om det er toppunkt eller bunnpunkt.

 

Edit: Det holder å finne et punkt før det første punktet, og ett etter - for så å sjekke om den deriverte bytter fortegn, siden sinuskurven alltid har annen hver toppunkt og bunnpunkt.

Endret 23. mars 2009 av Mr. Bojangles

[Nordis]

Deriver, sett den deriverte lik 0, bruk "enhetssirkelen" og finn de to løsningene.

 

sin(2x)'=2cos(2x) (bruker kjerneregelen)

2cos(2x)=0 |*(1/2)

cos(2x)=0 (tar cos-invers av begge sider)

2x = pi/2 + n*2pi V 2x = 3/2*pi + n*2pi (finner den ene eksakte tabelverdien, finner den andre vha. enhetssirkelen)

x = pi/4 + n*pi V x = 3/4*pi + n*pi

 

Drøft fortegnet og finn ut om det er toppunkt eller bunnpunkt.

 

Edit: Det holder å finne et punkt før det første punktet, og ett etter - for så å sjekke om den deriverte bytter fortegn, siden sinuskurven alltid har annen hver toppunkt og bunnpunkt.

 

Takk for kjapt svar men var ikke helt med i svingene hele tiden

Hvorfor kan jeg blande cosinus inn i dette, og hva cos-invers er aner jeg ikke

[Mr. Bojangles]

- Den deriverte av sin er cos. Den deriverte av sin(2x) blir da 2*cos(2x), etter kjerneregelen.

- For å finne stasjonære punkter setter du den deriverte lik 0. Den deriverte viser stigningen til funksjonen, og når stigningen er 0, er tangenten i punktet horisontal, og man har da enten et toppunkt; et bunnpunkt eller et vendepunkt.

- Da har vi 2cos(2x)=0, ganger begge sider av likningen med (1/2) (eller deler på to, det er to sider av samme sak) for å få bort koeffisienten foran cos (2-tallet).

- Står igjen med cos(2x)=0

 

- Den inverse av cos er arccos. cos(pi/2)=0, arccos(0)=(pi/2). Som du ser er dette "motsatte" funksjoner (på samme måte som ln(e^x)=x (hvis dere har hatt om den naturlige logaritmen, ellers skal jeg ikke forvirre deg). Så for å kvitte oss med cos (vi skal jo løse likningen mhp. x) må vi ta arccos (cos-invers), og det må vi gjøre på begge sider, siden det er en likning. Da står det egentlig arccos(cos(2x))= arccos(0). arccos og cos på venstresiden spiser hverandre opp. og vi står igjen med 2x=arccos(0)+n*2pi.

 

- n*2pi får vi fordi sinusfunksjonen er periodisk med en periode på 2pi - du er i enig i at n-grader og (360+n-grader) har samme cos- og sin-verdi? Når du ikke har oppgitt et definisjonsområde, er det uendelig mange løsnigner - men vanligvis vil du få oppgitt et definisjonsområde på f.eks. [0,2pi], og du skal da finne løsninger som samsvarer med dette.

 

- Likningen har to løsninger (det er to vinkler i enhetssirkelen som har cos-verdi på 0. Det er pi/2 og 3pi/2

 

Da har vi to likninger:

2x=(pi/2)+n*2pi V 2x=(3pi/2)+n*2pi

Ganger begge sider med (1/2) for å få x "alene".

 

x=(pi/4)+n*pi V x=(3pi/2)+n*pi

 

 

 

Edit: Bare si i fra hvis det er noe som er uklart.

Endret 23. mars 2009 av Mr. Bojangles

[Nordis]

Takk for utfyllende svar

 

skjønner at n-grader og (360+n-grader) har samme cos- og sin-verdi, men på likningen

2x=(pi/2)+n*2pi V 2x=(3pi/2)+n*2pi, hva står n for da? har jo ikke et gradetall...

[Mr. Bojangles]

n Er bare et tall ... Setter vi n=1, får vi: (pi/2)+1*2pi, altså i første omløp, setter vi n=2 befinner vi oss i andre omløp, 3 blir 3. omløp osv. Jeg skriver n, mange lærebøker bruker k eller t - det gjør samme nytten.