Forklaring av populasjonsdynamikk ved matrise

[karamasov]

Hei.

 

Jeg har drevet med en oppgave om populasjonsdynamikk. Jeg bruker symbolet k for lambda (egenverdi), og & for "ikke lik" (overstrøket likhetstegn.) I et av de siste spørsmålene står det;

 

Vi skal gjøre en modifikasjon av overgangsmatrisen M, ved å sette på en parameter q og la;

 

Mq=

 

0 1,05 0,25 + q

0,8 0 0

0 0,8 0

 

For q = 0 hadde vi en egenverdi gitt ved k = 1, noe som ga oss en bærekraftig populasjon, dvs. at populasjonen over tid stabiliserer seg på et visst nivå. For q & 0 vil ikke lenger k = 1 være noen egenverdi. Dersom alle egenverdiene har absoluttverdi mindre enn 1, vil populasjonen dø ut og dersom en egenverdi er større enn 1, så vil populasjonen vokse over alle grenser. Kan du gi en forklaring på dette?

 

Har noen tanker om dette? Jeg er redd jeg ikke skjønner helt. Hvorfor vil populasjonen vokse over alle grenser med egenverdier på større enn 1? Håper dere kan hjelpe meg.

Endret 17. september 2008 av Black Adder

[GeO]

Dette er vel det som kalles en Leslie-matrise, om jeg ikke tar feil. Den beskriver en populasjon delt inn i alderstrinn, der sammensetningen ved hvert alderstrinn fremstilles som en vektor. Hvis man tar en startvektor, som beskriver aldersfordelingen for populasjonen ved t = 0, kan man alltid finne aldersfordelingen ved tiden t ved å gange fordelingsvektoren for tiden t-1 med Leslie-matrisen. Stemmer dette?

 

I så fall har vi (v₀ startvektor, M matrise) at v_t = Mv_t-1, eller v_t = M^tv₀. Hvis M er diagonaliserbar, er M = PDP^-1, der D er diagonalmatrisen med egenverdiene til M langs diagonalen, og P er matrisen som har de tilhørende egenvektorene som kolonnevektorer.

 

Nå er poenget at M^t = PD^tP^-1, og D^t er mye enklere å beregne enn M^t, det er bare å eksponere hvert element på diagonalen. Disse elementene er som sagt egenverdiene til M, og da ser man at når t blir stor, går elementer med absoluttverdi under 1 mot 0, mens de over 1, går mot uendelig. Dette svarer til at populasjonen dør ut hhv. vokser over alle grenser.