Jaffe

Find the complex number z that satisfies the equation 50/z* - 10/z = 2 + 9i given that | z | = square root of 40

 

Tips?

Sett på felles brøkstrek på venstresida. I nevneren får du da . Tar du resten da?

Noen som ser hvordan de har forenklet ddenne matrisen:

 

ingen?

De har ikke forenklet matrisen. Det som står her er at determinanten til de to matrisene er like. Determinanten forandrer seg ikke om vi legger et multippel av en kolonne sammen med en annen kolonne. Her er 2 ganger første kolonne lagt til tredje kolonne.

Ja, ser riktig ut, men husk at det skal være (og i uttrykket ovenfor.)

Tenker du på noe sånt som ?

1.

En enhetsvektor er en vektor med lengde 1, slik som og .

Vis at er en enhetsvektor som har samme retning som .

 

2.

Se oppgave 1. Bestem enhetsvektoren i retningen

a) gitt ved

...

 

3.

Bestem slik at

a)

 

???

1) Du må vise to ting: At lengden til vektoren er 1, og at den har samme retning som . Det siste er enklest å svare på.

Her er det hensiktsmessig å se på som som det faktisk betyr. Hvorfor kan vi si at denne har samme retning som ?

For å vise at lengden er 1 så kan du rett og slett finne lengden av vektoren. Da får du bruk for at . Hva gir det deg her?

2) Enhetsvektoren er gitt ved det uttrykket du fant i 1). Du må altså finne og dele på det.

3) Hva er lengden av vektoren til venstre? Hva skal den være lik?

Dette er ikke en drittoppgave. Tvert i mot er det en god oppgave som tester om du faktisk forstår sammenhengen mellom fart og akselerasjon.

 

Husk at akselerasjonen er endringen i farten per tid. Det betyr at så lenge akselerasjonen er positiv øker farten. Her ser vi at akselerasjonen er positiv helt frem til . Det vil si at farten blir større og større frem til det tidspunktet. At grafen til akselerasjonen stiger og så synker igjen har ingenting med når farten øker og avtar å gjøre. Det forteller oss bare at farten f.eks. øker raskere ved enn ved .

 

Det som skjer i er at akselerasjonen blir 0. Da slutter farten å øke, siden akselerasjonen -- endringen i farten -- da er 0. Så blir akselerasjonen negativ. Da blir farten mindre igjen. Altså må være det punktet der farten er størst.

 

Det var rart..

Så farten er størst når akselerasjonen er på vei til å bli negativ, at aks = 0? :/ Hvordan kan det gi mening?

Jepp, det stemmer. Som jeg sa: Når akselerasjonen er positiv så øker farten. Det vil si at i hele tidsrommet fra 0 til så vil farten øke og øke. Det at grafen stiger og så synker igjen forteller oss at farten øker raskere og raskere frem mot , og så øker den seinere og seinere frem til . Men farten øker hele tiden!

I er akselerasjonen 0. Da skjer det ingen økning i farten lenger. Etter blir akselerasjonen negativ. Da avtar farten igjen. Da må tidspunktet ha vært der farten var størst.

Hvis du ikke syns dette gir mening så må du si hva du syns skurrer!

Ihvertfall, en annen oppgave:

 

Dette tenker jeg:

 

Jeg tenker at v0 er 20m/s som jeg fikk ovenfor og tiden blir 1s (fra 20meter per sekund). Ganger dette med 9,81 * 0.1^2 som den bruker på å passere vinduet.

Svare blir tilnærmet 19m, fasiten sier 19m.

Står også i fasiten bak svaret: (hint, finn først farten ved øvre kant av vinduet.)

Har jeg gjort dette, og ellers riktig satt opp/regnet?

Nei, dette er ikke riktig. Gjennomsnittsfarten er ikke den farten steinen har i det den befinner seg ved toppen av vinduet, og jeg ser egentlig ikke helt hvorfor du bruker 20m/s som startfart når du regner ut strekningen? (Det kan være jeg misforstår hva du har gjort/tenkt.)

Her er et løsningsforslag, som du kan fullføre:

De opplysningene vi får vite i oppgaven er hvor langt steinen beveger seg (2m) og hvor lang tid det tar (0.1s). Da kan vi finne farten som steinen har ved toppen av vinduet. Den er nemlig gitt ved ligningen

Denne gir deg , farten ved toppen av vinduet. Nå ser vi på den ukjente strekningen steinen har falt før den kom til vinduet. Du kjenner startfarten (0), og du kjenner sluttfarten (). I tillegg kjenner du akselerasjonen. Hvordan kan du da finne strekningen?

Dette er ikke en drittoppgave. Tvert i mot er det en god oppgave som tester om du faktisk forstår sammenhengen mellom fart og akselerasjon.

Husk at akselerasjonen er endringen i farten per tid. Det betyr at så lenge akselerasjonen er positiv øker farten. Her ser vi at akselerasjonen er positiv helt frem til . Det vil si at farten blir større og større frem til det tidspunktet. At grafen til akselerasjonen stiger og så synker igjen har ingenting med når farten øker og avtar å gjøre. Det forteller oss bare at farten f.eks. øker raskere ved enn ved .

Det som skjer i er at akselerasjonen blir 0. Da slutter farten å øke, siden akselerasjonen -- endringen i farten -- da er 0. Så blir akselerasjonen negativ. Da blir farten mindre igjen. Altså må være det punktet der farten er størst.

Det stemmer.

Husk at regnerekkefølgen er at potenser regnes ut før multiplikasjon. Derfor kan ikke . Står det derimot , så er det det samme som , siden parenteser har høyere prioritet enn potenser igjen.

Jeg skal finne denne grenseverdien:

Jeg delte alle leddene på 6^5x og stod igjen med 1/0 som gir uendelig som svar, eller at grensen ikke eksisterer. Men føler at dette var for lett til at det kan være riktig. Noen som er bedre enn meg i matte som kan se om jeg har rett eller feil?

På forhånd takk for hjelpen

Det uttrykket du ender opp med vil gi deg 0/0, ikke 1/0. Da kan du ikke avgjøre grenseverdien. Prøv heller å dele på . Hva ender du opp med da?

Kan en funksjon ha ekstremalpunkter dersom f'(x) ikke har nullpunkter, og at vi forutsetter en åpen funksjon uten delt fortegn? Kan den deriverte likevel skifte fortegn og at vi samtidig får et ekstremalpunkt?

Jeg vet ikke helt hva du mener med "åpen funksjon uten delt fortegn"? Funksjonen f(x) = |x| vil være et eksempel på en funksjon som har et ekstremalpunkt i x = 0. I det punktet eksisterer ikke den deriverte, men den deriverte er nødvendigvis negativ før og positiv etter.

Ekstremalpunkter kan vi ha i en av følgende punkter:

i) Punkter der den deriverte er lik 0 og skifter fortegn

ii) Punkter der den deriverte ikke eksisterer

iii) Endepunkter i definisjonsmengden altså a og b hvis definisjonsmengden er [a,b]

Edit: Grunnen til at jeg lurer er at jeg har en oppgave hvor jeg skal bevise at funksjonen ikke har ekstremalpunkter. Den deriverte er her Den deriverte har ingen nullpunkter. I fasiten til oppgaven står det at alltid vil være positiv. Jeg kan intuitivt se dette, ved å tenke: nevneren vil alltid være positiv fordi den er opphøyd i to, mens telleren er litt vanskeligere. Fordi den ikke har nullpunkter vil telleren alltid være enten positiv eller negativ i dette tilfellet når den er kontinuerlig og ikke har nullpunkter. Dersom x = 0 gjør konstantleddet den positiv, og den vil derfor alltid være positiv. Det er slik jeg har tenkt ved å se på fasit, men jeg lurer på om det som står innledningsvis også stemmer.

Telleren i den deriverte kan skrives . Da må også telleren hele tiden være positiv.

Men her kan du egentlig svare på spørsmålet uten å gå veien om den deriverte. Vi har nemlig at

.

Grafen til f er da en rett, skrå linje (utenom i x = 1). Det er åpenbart at den funksjonen ikke har noen ekstremalpunkt.

EDIT: La til litt generelt øverst

Hei! Jeg har midtsemesterprøve i matte 1 til uka, og lurer på om det finnes en database for gamle midtsemesterprøver? Vi har kun fått utlevert èn.

 

denne er jeg litt smånyskjerrig på også!

Jeg vet ikke om noen database, men det er ikke verre enn å se litt på fagsidene fra tidligere år: https://wiki.math.ntnu.no/tma4100

Bruk regelen som sier at til å skrive om venstre side. Hva får du da?

2(lgx)^2 = 2 * 2(lgx), tror jeg.

 

???

Her er det flere måter å tenke på. Du kan tenke at du vil få og til å "møtes". Prøv deg frem ved å tegne opp for forskjellige k- og m-verdier. Hvis du f.eks. prøver m = 1 og k = 1 så får du at og er en vektor som går 9 steg i x-retning og 7 steg i y-retning. Det er ikke lik , så det går ikke. Hva om vi øker k til 9? Da får vi en vektor som er 9 ganger så lang som , som altså går 9 steg i x-retning og 27 steg i y-retning. Da går den like langt som i x-retning, men mye lenger i y-retning. Hvis du ser litt på dette så ser du kanskje ganske fort hva k og m må være. En annen måte er å sette opp et ligningssett for m og k, men det er kanskje ikke det oppgaven sikter til.

Ja, 1 > x betyr at x er mindre enn 1.

Den motsatte operasjonen av lg er å opphøye med 10 som grunntall (lg x gir jo oss det tallet vi må opphøye 10 i for å få x). Vi har altså at . Hvis vi opphøyer med 10 som grunntall på begge sider i ligningen her så får vi at og videre at . Er du med på den utregningen?

Hva mener du med -1 > 0, og hvordan kom du frem til det? Husk at når du løser en ulikhet så skal du finne alle x-verdier som gjør at den ene siden er større enn den andre. Hvis du hadde kommet frem til -1 > 0 (det gjør du ikke) hadde du ikke klart å finne noen slike x-verdier, siden -1 ikke er større enn 0 (uansett hva x måtte være.)

Når du skal lage et fortegnsskjema så lager du en fortegnslinje av hver faktor i uttrykket. Her har du en faktor i telleren og en faktor i nevneren. Lag en linje for hver av dem, altså en linje for og en for .

En fellesnevner for hva? Det er én brøk. Hvilken brøk skal den ha noe felles med? Her er det ikke noe mer du kan gjøre av sammentrekning/forenkling. Det neste steget blir som du sier å lage et fortegnsskjema.

Det kommer an på hva som står på motsatt side i ligningen det. Hvis det står 0x = 0 så vil alle x passe inn der, ikke sant? Uansett hvilket tall x er så vil 0x = 0 være oppfylt. Da er det uendelig maneg løsninger. Men står det 0x = 4 så sliter vi, for uansett hvilket tall x er så blir produktet 0x til 0. Det blir umulig å få det lik 4. Da har ligningen ingen løsninger.

Det andre du spør om: Hvis kalkulatoren din kan gjøre det så er det vel ingen ting i veien med det?

Jeg er fan av å tenke slik:

Hvis jeg har et likningssystem med tre likninger, tre ukjente og a

 

x+y+z = a

....

.....

 

a skal være et reelt tall. hvilken verdi av a gir oss at likningsystemet har uendelig mange løsninger?

 

kan man løse dette med innsettingsmetoden? eller bruker man matriser?

Det kan nok gjøres med innsettingsmetoden, men det blir etter hvert veldig grisete. Å bruke matriser vil være mye enklere, hvis du kan det. Da kan du Gauss-eliminere den utvidede matrisen (augmented matrix) til du har fått den på trappeform, og da bør det være greit å vurdere. Det er vanskelig å være mer spesifikk når du ikke har oppgitt hele systemet.

implikasjoner:

 

(x -1)(x - 2)(x - 3) = 0 ⇒ x = 1

 

jeg vet svaret, men skjønner ikke fremgangsmåten!

Hva er svaret da, og hvordan tenkte du for å finne det?

Jo, log og ln er to forskjellige navn på samme funksjon (i alle fall slik WA ser det). 2 ln 15 og 2 log 15 er det samme. Men pass på å ikke forveksle det med 2 lg 15, som (vanligvis) betyr 2 ganger 10-logaritmen til 15.

g er definert ved at for hver argumentverdi (x-verdi) skal vi ta å integrere funksjonen f fra 0 til x, og det vi da får er funksjonsverdien til g i x. Da må integrasjonsvariabelen ha et annet navn enn x, siden x er navnet på argumentet. Det er ganske vanlig å kalle den for t.

edit: og for et faktisk svar på spørsmålet, se neste side

Ja, det høres bra ut -- men, pass på at g'(x) = f(x), ikke f(t). Integralet av f(t) fra 0 til x er en funksjon av x, ikke av t. Når du deriverer den i x får du f(x). Du kan godt nevnte at det er analysens fundamentalteorem som ligger bak det. Ellers er det ikke noe i veien, slik jeg ser det, med å føre det slik du har skrevet det med ord her.

Hvis en funksjon skal ha en inversfunksjon på et intervall må den være injektiv eller "en til en" på intervallet. For en kontinuerlig funksjon vil det være slik at hvis den er strengt voksende eller strengt avtagende, så vil den være injektiv (hvorfor?), og dermed ha en invers. Hva kan du si om din funksjon? Hvordan vokser den? [Hint: Se på den deriverte.]